'

1. Множества

Понравилась презентация – покажи это...





Слайд 0

1 1. Множества


Слайд 1

2 1.1. Понятие множества. Логические символы Под множеством понимают совокупность определенных и отличных друг от друга объектов, объединенных общим характерным признаком в единое целое. Объекты или предметы, из которых состоит множество, называют элементами множества. Множества обозначают прописными латинскими буквами А, В, С, ..., а элементы множеств — строчными латинскими буквами а, b, с, .... Если элемент а принадлежит множеству А, то пишут: ; Если элемент а принадлежит множеству А, то пишут: . Множества. Способы задания


Слайд 2

3 Если множество А состоит из элементов а, b, с, d, то пишут Если множество А задается указание характерного свойства P(x) его элементов, то записывают так: Множество, состоящее из одного элемента, называют одноэлементным и обозначают: . Множество, не содержащее ни одного элемента, называют пустым и обозначают символом . Например, множество действительных корней уравнения пусто. Все множества делятся на конечные и бесконечные. Множество, состоящие из конечного числа элементов, называются конечным. Множество, не являющееся конечным, называется бесконечным. Если А - конечное множество, то число его элементов обозначаю через и называют мощностью множества А.


Слайд 3

4 Квантор общности обозначается (“любой”, “всякий”, “каждый”). Выражение “для любого x из множества М” можно записать короче: . Выражение “во всяком треугольнике ABC” записывают в виде . Квантор существования обозначается (“существует”, “найдется”). Выражение “существует x, принадлежащий множеству M, такое, что ... ” записывают так: . Двоеточие означает “имеет место” “такое, что”. Например: ( выражение “для любого существует , такое, что для всех x, отличных от и удовлетворяющих неравенству , выполняется неравентво ”) Логические символы


Слайд 4

5 Символ логического следствия (“следует”, “вытекает”). Выражение “из утверждения a следует утверждение b ” записывают так: . Символ эквивалентности обозначает равносильность утверждений, расположенных по разные стороны от него и читается: “тогда и только тогда, когда ...”, “равносильно ...”, “необходимо и достаточно”. Например, выражение “в любом треугольнике ABC сторона АС равна стороне ВС тогда и только тогда, когда угол А равен углу В ” записывается в виде:


Слайд 5

6 Множества А и В называются равными, если каждый элемент множества А является элементом множества В и, наоборот, каждый элемент множества В является элементом множества А. (обозначение: А=В). Равные множества состоят из одних и тех же элементов. Равенство множеств обладает следующими свойствами: 1. А = А (рефлексивность); 2. А = В, В = С А = С (транзитивность); 3. А = В В = А (симметричность). Если множество А не равно множеству В, то пишут . Отношения между множествами


Слайд 6

7 Множество А, называется подмножеством множества В , если каждый элемент множества А является элементом множества В. (обозначение: ). Понятие подмножества определяет между двумя множествами отношение включения. Если , то А называют собственным подмножеством множества В и обозначают (отношение строгого включения). Всякое натуральное число является целым, поэтому . Но всякое целое число является рациональным, следовательно, . Всякое же рациональное число является действительным, поэтому . Следовательно, . Множество рациональных и иррациональных чисел не равны между собой и ни одно из них не является подмножеством другого.


Слайд 7

8 Пусть дано универсальное множество U. Множества А и В - произвольные подмножества множества U. Объединением множеств А и В называется множество, содержащее те и только те элементы, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В (или обоим одновременно): Операция объединения множеств удовлетворяет коммутативному и ассоциативному законам: 1.2. Операции над множествами


Слайд 8

9 Пересечением множеств А и В называется множество, содержащее из всех тех и только тех элементов, каждый из которых принадлежит обоим множествам одновременно: коммутативный и ассоциативный законы: дистрибутивный закон:


Слайд 9

10 Разностью двух множеств А и В называется множество, содержащее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат В, но принадлежат А : Разность называется дополнением множества А до универсального множества U:


Слайд 10

11 Пара элементов называется упорядоченной, если указан порядок записи элементов x и y. Считается, что Элементы x и y упорядоченной пары называются координатами этой пары. Декартовым произведением двух множеств А и В называется множество, состоящее из всевозможных упорядоченных пар: Если A=B, то называют декартовым квадратом.


Слайд 11

12


Слайд 12

13 1.3. Отображение множеств. Эквивалентность множеств Пусть А, В произвольные множества и f - закон (правило), по которому каждому элементу ставится в соответствие единственный элемент . Тогда говорят, что задано отображение f множества А в множество B, или оператор f, переводящий множество А в множество B. Элемент b, в который отображен a, называют образом элемента a при отображении f и обозначают f(a). Элемент а называют прообразом элемента f(a). Множество образов всех элементов a при отображении f называют образом множества А: Задание отображения предполагает задание тройки (А, f, B), где А - отображаемое множество; В - множество значений отображения; f - закон, по которому каждому элементу ставится в соответствие элемент .


Слайд 13

14 Отображение называют взаимно однозначным или биективным, если каждый элемент является образом только одного элемента . Отображение называют обратным к отображению f, если т.е. элементу ставится в соответствие тот элемент , образом которого при отображении f является b.


Слайд 14

15 Два множества А и В называются эквивалентными (равномощными), если существует хотя бы одно взаимно однозначное отображение одного множества на другое. (обозначение: A ~ B ). Свойства отношения эквивалентности: Всякое множество, эквивалентное множеству натуральных чисел, называется счетным. Например, N - множество натуральных чисел, А - множество четных натуральных чисел. Взаимно однозначное соответствие с помощью соотношения


Слайд 15

16


×

HTML:





Ссылка: