Глава 2 МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Слайд 0

Глава 2 МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 2.1. Общая характеристика методов решения систем линейных уравнений

Слайд 1

2.2. Метод обратной матрицы. Формула Крамера Имеем линейную систему уравнений с n неизвестными: . … (2.1)

Слайд 2

Введем матрицы: – матрица системы из коэффициентов при неизвестных, – вектор-столбец неизвестных, – вектор-столбец свободных членов.

Слайд 3

Системе (2.1) соответствует матричное уравнение . (2.2)

Слайд 4

Другой разновидностью формы решения (2.3) является формула Крамера , (2.5) , где ? – главный определитель системы (2.1); – номера столбцов; – определитель, полученный путем замены в главном определителе системы (?) столбца коэффициентов при неизвестном xj столбцом коэффициентов свободных членов (B).

Слайд 5

2.3. Метод Гаусса Для простоты рассуждений ограничимся рассмотрением системы четырех уравнений с четырьмя неизвестными 1) 2) 3) 4) (2.7) , , , . Изложим последовательность операций при прямом ходе.

Слайд 6

Слайд 7

Второй шаг состоит в исключении x2 из уравнений № 2, 3 системы (2.9). (2.11) .

Слайд 8

Третий шаг. Разделим первое уравнение системы (2.12) на ведущий элемент , что дает (2.13) .

Слайд 9

Таким образом, исходную систему (2.7) удалось привести к эквивалентной системе с треугольной матрицей: (2.15) . , , ,

Слайд 10

Обратный ход связан с последовательным переходом от последнего уравнения системы (2.15) к первому, в процессе которого осуществляется непосредственный расчет значений x: (2.16) . , , ,

Слайд 11

(2.21) . Определитель матрицы A равен произведению «ведущих» элементов в схеме Гаусса: (2.22) .

Слайд 12

2.4. Метод простой итерации для решения систем линейных уравнений Имеем линейную систему уравнений с n неизвестными: . … (2.23) , ,

Слайд 13

Эквивалентная система уравнений: , … (2.24) , , где ; при и (2.25)

Слайд 14

Итерационный процесс для системы (2.24): (2.27) где k – номер итерации. Для сходящегося процесса решением является , . (2.28)

Слайд 15

Условие сходимости: (2.39) , т.е. модуль диагонального коэффициента для каждого уравнения больше суммы модулей его недиагональных коэффициентов. Условие завершения итерационного процесса: . (2.44)

Слайд 16

2.5. Метод Зейделя для решения линейных систем Метод Зейделя представляет собой некоторую модификацию метода простой итерации. Считаем, что дана линейная система, приведенная к итерационному виду (2.24): . (2.62)

Слайд 17

Полагаем, что найдено k-е приближение всех корней. Согласно методу Зейделя, (k+1)-е приближение корней будет определяться по следующим формулам: , , , … , … , . (2.63)

Слайд 18

Метод Зейделя обеспечивает, как правило, лучшую сходимость, чем метод простой итерации.