Понравилась презентация – покажи это...
Слайд 0
Глава 2
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ
ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
2.1. Общая характеристика методов решения
систем линейных уравнений
Слайд 1
2.2. Метод обратной матрицы. Формула Крамера
Имеем линейную систему уравнений с n неизвестными:
.
…
(2.1)
Слайд 2
Введем матрицы:
– матрица системы из
коэффициентов при неизвестных,
– вектор-столбец неизвестных,
– вектор-столбец свободных членов.
Слайд 3
Системе (2.1) соответствует матричное уравнение
. (2.2)
Слайд 4
Другой разновидностью формы решения (2.3)
является формула Крамера
, (2.5)
,
где ? – главный определитель системы (2.1);
– номера столбцов;
– определитель, полученный
путем замены в главном
определителе системы (?)
столбца коэффициентов при
неизвестном xj столбцом
коэффициентов свободных
членов (B).
Слайд 5
2.3. Метод Гаусса
Для простоты рассуждений ограничимся
рассмотрением системы четырех уравнений с четырьмя
неизвестными
1)
2)
3)
4)
(2.7)
,
,
,
.
Изложим последовательность операций
при прямом ходе.
Слайд 6
Слайд 7
Второй шаг состоит в исключении x2 из уравнений
№ 2, 3 системы (2.9).
(2.11)
.
Слайд 8
Третий шаг. Разделим первое уравнение
системы (2.12) на ведущий элемент , что дает
(2.13)
.
Слайд 9
Таким образом, исходную систему (2.7) удалось
привести к эквивалентной системе с треугольной
матрицей:
(2.15)
.
,
,
,
Слайд 10
Обратный ход связан с последовательным
переходом от последнего уравнения системы (2.15)
к первому, в процессе которого осуществляется
непосредственный расчет значений x:
(2.16)
.
,
,
,
Слайд 11
(2.21)
.
Определитель матрицы A равен произведению
«ведущих» элементов в схеме Гаусса:
(2.22)
.
Слайд 12
2.4. Метод простой итерации
для решения систем линейных уравнений
Имеем линейную систему уравнений с n неизвестными:
.
…
(2.23)
,
,
Слайд 13
Эквивалентная система уравнений:
,
…
(2.24)
,
,
где
;
при
и
(2.25)
Слайд 14
Итерационный процесс для системы (2.24):
(2.27)
где k – номер итерации.
Для сходящегося процесса решением является
,
.
(2.28)
Слайд 15
Условие сходимости:
(2.39)
,
т.е. модуль диагонального коэффициента для каждого
уравнения больше суммы модулей его недиагональных
коэффициентов.
Условие завершения итерационного процесса:
.
(2.44)
Слайд 16
2.5. Метод Зейделя для решения линейных систем
Метод Зейделя представляет собой некоторую
модификацию метода простой итерации.
Считаем, что дана линейная система, приведенная
к итерационному виду (2.24):
.
(2.62)
Слайд 17
Полагаем, что найдено k-е приближение
всех корней. Согласно методу Зейделя, (k+1)-е
приближение корней будет определяться по следующим
формулам:
,
,
,
…
,
…
,
.
(2.63)
Слайд 18
Метод Зейделя обеспечивает, как правило, лучшую
сходимость, чем метод простой итерации.