'

Thermodynamic properties of small particles in external magnetic field

Понравилась презентация – покажи это...





Слайд 0

Thermodynamic properties of small particles in external magnetic field Prof. Sergei I. Mukhin Moscow State Institute for Steel and Alloys, Moscow, Russia, and Leiden Institute of Physics (LION), Leiden University, Leiden, The Netherlands Jos de Jongh (Netherlands) Fabian Mettes Marco Evangelisti (Italy) Yakov Volokitin Lecture I Nanoclusters vs bulk materials: important differences. Random Hamiltonian matrix and theory of its eigenvalue statistics Lecture II Applications of the random matrix theory to thermodynamics of nanoclusters


Слайд 1


Слайд 2


Слайд 3


Слайд 4


Слайд 5


Слайд 6

One-dimensional infinite potential well The wave-function of the quantum particles is a standing wave, and the energy levels are quantized: A more realistic potential well The Hamiltonian of a quantum particle in an external potential V(x) in 1D


Слайд 7

Статистика энергетических уровней тяжелых ядер Вигнер, Дайсон, Мета, Година (Gaudin) (1960-65) и изолировнных металлических гранул (Горьков, Элиашберг (1965)) Ансамбль случайных гамильтоновых матриц: гипотеза о геометрических корреляциях, теорема Портера Переходы между ансамблями разной симметрии в магнитном поле «Броуновское движение» энергетических уровней Универсальность корреляций в ансамблях случайных матриц и универсальность флуктуаций проводимости в неупорядоченных проводниках (Альтшулер, Шкловский, Имри (1986г)) Квантовые точки (Альтшулер, Ли, Вебб, Бейнаккер, ван Хутен (1991))


Слайд 8

Вигнер и Дайсон исследовали ансамбль из случайных эрмитовых матриц размерности распределенных по закону: где с – нормировочная константа. Если , то ансамбль называется гауссовым. Следствие 1: то есть матричные элементы распределены независимо ! Следствие 2: в пределе распределение уровней энергии не зависит от вида функции -это называется универсальностью спектральных корреляций (соблюдается вдали от границ спектра ) . Уровни энергии - это собственные значения матрицы и находятся из уравнения


Слайд 9

Важный вопрос: возможно ли отделить распределение N уровней энергии Ei от распределения остальных (NxN – N) случайных величин, характеризующих матричные элементы гамильтоновой матрицы H размерности NxN ? Ответ (теорема Портера, 1960): Возможно! Начнем объяснение поэтапно: Существует унитарное преобразование с матрицей U = (A1A2...AN) из N собственных векторов матрицы H : HAn=EnAn , диагонализующее гамильтонову матрицу системы H: 2. Преход к новому базису не влияет на функцию распределния, однако, указывает, что вероятность случайной матрицы H зависит лишь от ее спектра, а остальные (NxN – N) случайных величин распределены однородно:


Слайд 10

Следовательно, для перехода к распределению по энергетическим уровням от распределения по матричным элементам необходим якобиан перехода J, который связывает объемы в пространстве матричных элементов dHij с объемами в пространстве собственных векторов dUn, впервые найденный Портером (теорема Портера, 1960): Видно, что распределение по уровням энергии можно интерпретировать как распределение Гиббса, где параметр b играет роль обратной температуры ~1/kBT, а u(Ei-Ej) – «потенциал взаимодействия частиц» с «координатами» Ei,Ej, наконец V(Ek)- «потенциал» действующий на каждую «частицу». При этом, из теоремы Портера следует что u(Ei-Ej)=log|Ei-Ej| , т.е. имеет вид кулоновского отталкивания между N «заряженными стержнями» на линии вдоль оси E, расположенных в точках с координатами Ei, Ej. Такие корреляции между случайными уровнями энергии Ei называются геометрическими.


Слайд 11

The Wigner’s Ansatz for the Gaussian ensemble of random NxN Hermitian matrices H : In the limit the spectral correlations become universal with b the symmetry index counts number of degrees of freedom of the Hamiltonian matrix element, the possible values are: 1, 2 and 4. So far, gaussian P(H) gives distribution of the matrix elements as the independent random variables. The transition from P(H) to eigenvalues distribution P(En) is due to Porter (1960): Step 1 Step 2 matrix space “volume” eigenvectors U


Слайд 12

Step 3 Step 4 Step 5 where levels distribution function is: Equivalent form for the distribution function: Conclusion: Wigner-Dyson’s Gaussian ensemble has only geometrical spectral correlations due to J({E}) the Porter’s theorem


Слайд 13

Mapping onto a system of repelling charges in a parabolic potential well at the “temperature” 1/b


Слайд 14


Слайд 15


Слайд 16

b=1 (!)


Слайд 17

b=2 (!)


Слайд 18

b=4 (!)


Слайд 19


Слайд 20

The problem: how the GOE to GUE crossover looks like when an external magnetic field is switched on ? 1.Does the symmetry index b change abruptly from @GOE to @GUE ? 2.How the change of the index b is reflected in the thermodynamic properties of the nanoclusters? 3.What are predictions for temperature/field dependences change of the specific heat and magnetic susceptibility?


Слайд 21

A real NxN antisymmetric matrix A is independently distributed from real symmetric matrix H0 . Both matrices are distributed with the same Gaussian distribution , so that the distribution of the complete Hamiltonian H is : The variance determines the mean level spacing d : The distribution P(H) interpolates between GOE for a=0 and GUE for a=1 Pandey and Mehta (1983,1991) Hamiltonian for GOE to GUE transition in external magnetic field


Слайд 22

Двухуровневая корреляционная функция во внешнем магнитном поле: аналитическое решение Pandey&Mehta (1991) ; баллистическое движение


Слайд 23

диффузия R>>l l – длина своб.пробега R-размер образца; vf-скорость Ферми; d - среднее межуровневое расстояние Fram&Pichard (1995); Bohigas et al. (1995)


Слайд 24

Beenakker, Rev.Mod.Phys. (1997)


Слайд 25


Слайд 26

red line: h=0.02; blue line: h=1.62; green line: h=0.82


Слайд 27

Ограничения теории случайных матриц Вигнера-Дайсона где Ec –энергия Таулеса, обратно пропорциональная времени диффузии электрона через частицу размера L, где D- коэффициент диффузии электрона Подтверждение распределния случайных энергетических уровней по Вигнеру -Дайсону микроскопической теорией : Efetov (1982,83); Altshuler& Shklovskii (1986); Jalabert,Pichard, Beenakker (1993)


×

HTML:





Ссылка: