'

ОСНОВЫ ПРОГРАММИРОВАНИЯ Раздел 2. Математические основы программирования Представление чисел в ЭВМ

Понравилась презентация – покажи это...





Слайд 0

ОСНОВЫ ПРОГРАММИРОВАНИЯ Раздел 2. Математические основы программирования Представление чисел в ЭВМ Старший преподаватель Кафедры ВС, к.т.н. Поляков Артем Юрьевич


Слайд 1

Рассматриваемые вопросы Представление целых чисел представление целых без знака представление знаковых целых Представление вещественных чисел математическая основа представления вещественных чисел современный стандарт представления вещественных чисел 2 © Кафедра вычислительных систем ГОУ ВПО «СибГУТИ»


Слайд 2

Представление чисел в ЭВМ Особенности представления чисел в ЭВМ: используется двоичная система счисления ограниченное количество разрядов в ЭВМ используется память, элементарная ячейка которой (бит) может иметь только 2 состояния (0 и 1). Поэтому отсутствует возможность хранить знаки: ( "+", "–" и "." ). 3 © Кафедра вычислительных систем ГОУ ВПО «СибГУТИ»


Слайд 3

Представление целых чисел без знака Пусть дана ячейка памяти, размер которой k бит. Существует 2k всевозможных битовых наборов длины k. Следовательно, всего возможно представить 2k различных чисел. Существует всего (2k)! (количество перестановок из 2k элементов) способов закодировать беззнаковые числа битовыми наборами. Среди всех теоретически возможных способов наиболее удобно использовать k-разрядную запись этого числа в двоичной системе счисления. Это позволяет естественным образом реализовать арифметические операции над числами. 4 © Кафедра вычислительных систем ГОУ ВПО «СибГУТИ»


Слайд 4

Представление целых чисел без знака (примеры) 5 © Кафедра вычислительных систем ГОУ ВПО «СибГУТИ» 17510 = 1010 11112 3610 = 10 01002


Слайд 5

Представление знаковых целых Отрицательные числа могут быть представлены в ЭВМ несколькими способами, выбор одного из которых оказывает влияние на реализацию арифметических операций. Для представления знаковых целых чисел используются три способа: 1) прямой код; 2) обратный код; 3) дополнительный код. Далее будут рассмотрены каждый из способов для десятичной и двоичной систем счисления (СС). 6 © Кафедра вычислительных систем ГОУ ВПО «СибГУТИ»


Слайд 6

Прямой код (десятичная СС, 6 разрядов) Это наиболее очевидный и близкий к естественному способ записи чисел. Число формируется из одного знака и фиксированного количества разрядов (цифр), представляющих собой модуль числа. Например: +123 456 -001 000 -012 123 7 © Кафедра вычислительных систем ГОУ ВПО «СибГУТИ»


Слайд 7

Прямой код (двоичная СС, 8 бит) При формировании прямого кода в двоичной СС старший бит (разряд) используется для хранения знака: 0 ~ "+", 1 ~ "-". 8 © Кафедра вычислительных систем ГОУ ВПО «СибГУТИ» -10010 = 1110 01002, 10010 = 0110 01002 -3610 = 1010 01002, 3610 = 10 01002 знак -100 -36


Слайд 8

Обратный код (десятичная СС, 6 разрядов) Отрицательные числа также состоят из фиксированного числа разрядов и формируются путем дополнения каждого разряда до 9: – 123 456 ? 876 543 1 ? 9 – 1 = 8 2 ? 9 – 2 = 7 3 ? 9 – 3 = 6 4 ? 9 – 4 = 5 5 ? 9 – 5 = 4 6 ? 9 – 6 = 3 – 123 456 = 999 999 – 123 456 = 876 543 9 © Кафедра вычислительных систем ГОУ ВПО «СибГУТИ»


Слайд 9

Обратный код (двоичная СС, 8 бит) Обратный код отрицательного числа в двоичной СС формируется путем инвертирования каждого разряда, включая знак, на противоположный. 10 © Кафедра вычислительных систем ГОУ ВПО «СибГУТИ» 10010 = 0110 01002, – 10010 = 1001 10112 3610 = 10 01002, – 3610 = 1101 10112 знак – 100 – 36


Слайд 10

Обратный код (двоичная СС, 8 бит) Для формирования обратного кода также может использоваться подход, аналогичный приведенному для десятичной СС: 11 © Кафедра вычислительных систем ГОУ ВПО «СибГУТИ» – 10010 = 1111 11112 – 0110 01002 = 1001 10112


Слайд 11

Дополнительный код (десятичная СС, 6 разрядов) Отрицательные числа в дополнительном коде представляются следующим образом: – x = 0 – x = 1 000 000 – x – 1 = 0 – 1 = 1 000 000 – 1 = 999 999 – 500 000 = 0 – 500 000 = 1 000 000 – 500 000 = 500 000 Диапазон: -500 000 до 499 999 (499 999 – 500 000) 12 © Кафедра вычислительных систем ГОУ ВПО «СибГУТИ»


Слайд 12

Связь дополнительного и обратного кода (дес. СС, 6 разрядов) Дополнительный код – х = 0 – х = 1 000 000 – х – 1 = 0 – 1 = 1 000 000 – 1 =999 999 13 © Кафедра вычислительных систем ГОУ ВПО «СибГУТИ» Обратный код – х = 0 – х = 999 999 – х – 1 = 0 – 1 = 999 999 – 1 =999 998 <Доп. код> = <Обр. код> + 1


Слайд 13

Дополнительный код (двоичная СС, 8 бит) 14 © Кафедра вычислительных систем ГОУ ВПО «СибГУТИ» 10010 = 0110 01002, 3610 = 10 01002 – 10010 = 1 0000 00002 – 0110 01002 = 100111002 = 15610 – 3610 = 1 0000 00002 – 0010 01002 = 11011100 2 = 22010 знак – 100 – 36


Слайд 14

Сравнение различных представлений знаковых чисел (двоичная СС, 3 бит) 15 © Кафедра вычислительных систем ГОУ ВПО «СибГУТИ»


Слайд 15

Сложение и вычитание целых чисел без знака Сложение и вычитание k-разрядных целых чисел без знака происходит по обычным для позиционных систем счисления правилам. Примеры (для k = 3): 0012 + 1002 = 1012; 1012 ? 0102 = 0112. Ситуации, когда уменьшаемое меньше вычитаемого или когда результат суммы не умещается в k разрядов, считаются ошибочными и должны отслеживаться устройством компьютера. 16 © Кафедра вычислительных систем ГОУ ВПО «СибГУТИ»


Слайд 16

Обработка переполнения при сложении целых чисел без знака Если при сложении двух k-разрядных чисел возникает (k+1)-й разряд, то он будет отброшен. Пример (для k = 3): 510 + 410 = 1012 + 1002 = 10012 = 0012 = 110 17 © Кафедра вычислительных систем ГОУ ВПО «СибГУТИ»


Слайд 17

Сложение целых знаковых чисел в дополнительном коде Сложение k-разрядных знаковых чисел производится аналогично алгоритму для целых чисел без знака. Складываются все разряды, включая знаковый Если в результате сложения возникает (k+1)-й разряд, то он отбрасывается. Для k = 3: +310 + (?110) = 0112 + 1112 = 10102 => 0102 = +210. 18 © Кафедра вычислительных систем ГОУ ВПО «СибГУТИ»


Слайд 18

Вычитание целых знаковых чисел в дополнительном коде При вычитании также используется аналогичный алгоритм, однако если уменьшаемое меньше вычитаемого, к двоичному коду уменьшаемого слева приписывается единица (т.е. добавляется 2k ) и только после этого производится вычитание (такой способ называется вычитание по модулю 2k). Для k = 3: 110 ? 310 = 0012 ? 0112 => 10012 ? 0112 = 1102 = ?210. 19 © Кафедра вычислительных систем ГОУ ВПО «СибГУТИ»


Слайд 19

Сложение и вычитание по модулю 2k 20 © Кафедра вычислительных систем ГОУ ВПО «СибГУТИ»


Слайд 20

Вещественные числа В памяти ЭВМ не предусмотрено специальных средств для запоминания десятичной точки. Существует два способа представить вещественное число в виде десятичной дроби: 1. Явно указав позицию запятой внутри числа: 23.456, 0.0098; 2. Научный, с помощью степени основания 10: 2.3456*101, 0.98*10-2 21 © Кафедра вычислительных систем ГОУ ВПО «СибГУТИ»


Слайд 21

Вещественные числа с фиксированной точкой Данное представление соответствует первому варианту записи вещественных чисел. Положение точки внутри байта (байтов) задается фиксировано, например: для хранения используется 1 байт, пусть биты с 0 по 4 – целая часть, а биты с 5 по 7 – дробная часть: 0000 0.000 0000 0.001 0000 0.010 ..... 1111 1.110 1111 1.111 22 © Кафедра вычислительных систем ГОУ ВПО «СибГУТИ»


Слайд 22

Вещественные числа с фиксированной точкой (недостатки) 1) Малый диапазон значений. 2) Неэффективное использование памяти при работе только с малыми числами или только с большими числами. 23 © Кафедра вычислительных систем ГОУ ВПО «СибГУТИ»


Слайд 23

Вещественные числа с плавающей точкой p-разрядным числом с плавающей точкой по основанию b с избытком q называется пара величин (e, f), которой соответствует значение: ( e, f ) = f ? b(e – q) e – порядок – беззнаковое целое число, изменяющаяся в определенном промежутке. f – мантисса – знаковое вещественное число с фиксированной точкой, при этом: | f | < 1, т.е. разделяющая точка находится в крайней слева позиции 24 © Кафедра вычислительных систем ГОУ ВПО «СибГУТИ»


Слайд 24

Научная форма записи вещественных чисел Научная форма записи вещественных чисел позволяет представить одно и то же число множеством различных способов. Например, постоянная Планка h = 6.6261?10-27 может быть записана одним из следующих способов: 66.261?10-28 66261?10-31 0.66261?10-26 0.00066261?10-23 … 25 © Кафедра вычислительных систем ГОУ ВПО «СибГУТИ»


Слайд 25

Нормализованная форма Представление информации в ЭВМ требует определенности, поэтому вещественные числа представляются в нормализованной форме. Число с плавающей точкой является нормализованным, если: 1) наиболее значимая цифра в представлении f отлична от нуля: 1/b ? | f | < 1 2) f = 0 и е принимает наименьшее возможное значение Например: 0.615, 0.101, 6.15, 0.01 26 © Кафедра вычислительных систем ГОУ ВПО «СибГУТИ»


Слайд 26

p-разрядные нормализованные вещественные числа ( e, f ) = f ? be-q В ЭВМ для хранения вещественных чисел отводится ограниченное число разрядов: –bp ? f ? be-q ? bp Пример: рассмотрим следующий пример представления десятичных чисел: f – 8-разрядов, е – 2 разряда, избыток q = 50, основание b = 10. Число Авогадро: N = 6,02214?1023 = 0.602214?1024 = ((24+50),+.60221400) = (74, +.60221400) Постоян. Планка: h = 6.6261 ?10-27 = 0.66261 ?10-26 = ((-26+50), +.66261000) = (24, +.66261000) 27 © Кафедра вычислительных систем ГОУ ВПО «СибГУТИ»


Слайд 27

Упаковка вещественных числа с одинарной точностью (тип float) 28 © Кафедра вычислительных систем ГОУ ВПО «СибГУТИ» 0 Размер, выделяемый для хранения: 4 байта (32 бита) (e, f ,s) = s1.f ? be-q f: 23 бит; e: 8 бит; s: 1 бит, b = 2, q = 28-1 – 1 = 127 22 1 23 24 30 31 f e s


Слайд 28

Примеры вещественных чисел с одинарной точностью 29 © Кафедра вычислительных систем ГОУ ВПО «СибГУТИ» ( e, f ,s) = s1.f ? be-q ( 127, 0 ,0) = +1.0 ? 2127-127 = + 1.0


Слайд 29

Примеры вещественных чисел с одинарной точностью (2) 30 © Кафедра вычислительных систем ГОУ ВПО «СибГУТИ» ( e, f ,s) = s1.f ? be-q ( 127, 0 ,1) = –1.0 ? 2127-127 = – 1.0


Слайд 30

Примеры вещественных чисел с одинарной точностью (3) 31 © Кафедра вычислительных систем ГОУ ВПО «СибГУТИ» ( e, f ,s) = s1.f ? be-q ( 126, 0 ,0) = +1.0 ? 2126-127 = +0.5


Слайд 31

Примеры вещественных чисел с одинарной точностью (4) 32 © Кафедра вычислительных систем ГОУ ВПО «СибГУТИ» ( e, f ,s) = s1.f ? be-q ( 127, 0 ,0) = +1.0 ? 2123-127 = +2-4 = 0.0625


Слайд 32

Перевод вещественных чисел из десятичной СС в двоичную СС 33 © Кафедра вычислительных систем ГОУ ВПО «СибГУТИ» Пусть дано десятичное вещественное число A10 = A'10 . A''10 Необходимо: найти A2 Решение: Найти A'2 из A'10, используя алгоритм DB1 перевода целых десятичных чисел в двоичные. Найти A''2 из A''10, используя алгоритм DB2 перевода дробных (<1) десятичных чисел в двоичные. A2 = A'2.A''2


Слайд 33

Алгоритм DB1 34 © Кафедра вычислительных систем ГОУ ВПО «СибГУТИ» n10 i = 0, n2 = 0, m = n10 НАЧАЛО m > 0 n2= n2 + (m mod 2) << i m = m div 2 i = i + 1 КОНЕЦ НЕТ ввод n10 i = 0, n2 = 0, m = n10 пока m > 0 делать n2 = n2 + (m mod 2) << i m = m div 2 i = i + 1 конец пока вывод n2 n2


Слайд 34

Алгоритм DB2 35 © Кафедра вычислительных систем ГОУ ВПО «СибГУТИ» n10 i = 0, n2 = 0, m = n10 НАЧАЛО m > 0 n2= n2 << 1 + [m·2] m = m·2 ? [m·2] i = i + 1 КОНЕЦ НЕТ ввод n10 i = 0, n2 = 0, m = n10 пока m > 0 делать n2= n2 << 1 + [m·2] m = m·2 ? [m·2] i = i + 1 конец пока вывод n2·2-i n2·2-i


Слайд 35

Представление числа 0.310 36 © Кафедра вычислительных систем ГОУ ВПО «СибГУТИ» n10 i = 0, n2 = 0, m = n10 НАЧАЛО m > 0 n2= n2 << 1 + [m·2] m = m·2 ? [m·2] i = i + 1 КОНЕЦ НЕТ 1. n2 = 02<<1 + [0.3·2] = 02 m = 0.6, i = 1 2. n2 = 0<<1 + [0.6·2] = 12 m = 1.2 – 1 = 0.2, i = 2 3. n2 = 12<<1 + [0.2·2] = 102 m = 0.4 – 0 = 0.4, i = 3 4. n2 = 102<<1 + [0.4·2] = 1002 m = 0.8 – 0 = 0.8, i = 4 5. n2 = 100<<1 + [0.8·2] = 10012 m = 1.6 – 1 = 0.6, i = 5 n2·2-5 = 0.01001 6. … … 0.310 = 0.01001 1001 1001 1001 …. n2·2-i


Слайд 36

Примеры вещественных чисел с одинарной точностью (5) 37 © Кафедра вычислительных систем ГОУ ВПО «СибГУТИ» ( e, f ,s) = s1.f ? be-q ( 127, 0 ,0) = +1.0011001… ? 2125-127 = 1.0011001… ? 2-2 = 0.010011001….


Слайд 37

Примеры вещественных чисел с одинарной точностью (6) 38 © Кафедра вычислительных систем ГОУ ВПО «СибГУТИ» ( e, f ,s) = s1.f ? be-q ( 127, 0 ,0) = +1.01010011001… ? 2129-127 = 1.01010011001… ? 22 = 101.010011001….


Слайд 38

Анализ внутреннего представления числа 5.310 в типе float 39 © Кафедра вычислительных систем ГОУ ВПО «СибГУТИ» 1.0101 0011 0011 0011 0011 0102 ? 22 = = 101.01 0011 0011 0011 0011 0102 = 5 + 2-2 + 2-5 + 2-6 + 2-9 + 2-10 + 2-13 + 2-14 + 2-17 + 2-18 + 2-20 = 5 + 0.25 + 0,03125 + 0,015625 + + 0,001953125 + 0,000976562 + + 0,00012207 + 0,000061035 + + 0,000007629 + 0,000003815 + 0,000000954 = = 5,299999237 + 0,000000954 = 5,300000191


Слайд 39

Примеры вещественных чисел с одинарной точностью (7) 40 © Кафедра вычислительных систем ГОУ ВПО «СибГУТИ» ( e, f ,s) = s1.f ? be-q ( 127, 0 ,0) = +1.010 0011 0011 … ? 2129-127 = 1.010 0011 0011 … ? 22 = 101.0 0011 0011 ….


Слайд 40

Анализ внутреннего представления числа 5.110 в типе float 41 © Кафедра вычислительных систем ГОУ ВПО «СибГУТИ» 1.010 0011 0011 0011 0011 00112 ? 22 = = 101.0 0011 0011 0011 0011 00112 = 5 + 2-4 + 2-5 + 2-8 + 2-9 + 2-12 + 2-13 + 2-16 + 2-17 + 2-20 + 2-21 = 5 + 0,0625 + 0,03125 + 0,00390625 + 0,001953125 + + 0,000244141 + 0,00012207 + + 0,000015259 + 0,000007629 + 0,000000954 + 0,000000477 = 5,099999905


Слайд 41

Ошибки округления 42 © Кафедра вычислительных систем ГОУ ВПО «СибГУТИ» Технические средства не позволяют хранить числа, заданные бесконечными дробями Необходима замена любого числа конечной дробью, ограниченной доступным количеством разрядов. Данная операция называется округлением. Округлением числа x = ±dn…ds+1dsds–1ds–2 до s разрядов в заданной СС называется его замена числом xs = ±dn…ds+1ds, в котором разряды (s – 1), (s – 2), … являются нулевыми. Разность (x – xs) называется ошибкой округления.


Слайд 42

Способы округления 43 © Кафедра вычислительных систем ГОУ ВПО «СибГУТИ» Отбрасывание разрядов (s – 1), (s – 2),… как это реализовано для целых чисел. Достоинством данного подходя является простота реализации в аппаратуре. Недостатком служит то, что знак ошибки (x* ? x) всегда противоположен знаку x. Округление по правилам, используемым в школе. Вещественные числа Xis, имеющие нулевые младшие разряды (s – 1), (s – 2), … располагаются на числовой оси с шагом bs, как показано на рисунке. При этом среди этих чисел есть число x*, которое наиболее близко к x и | x* ? x | ? bs


Слайд 43

Примеры применения алгоритмов округления для числа 5.310 44 © Кафедра вычислительных систем ГОУ ВПО «СибГУТИ» Отбрасывание разрядов: 5.3 = 101.01 0011 0011 0011 0011 0011 00112 = 5,299999237 + 2-21 = 5,299999714 5,299999714 ? 5,3 = ? 2.86 · 10-7 Округление с использованием школьной арифметики 5.3 = 101.01 0011 0011 0011 0011 00112 = 101.01 0011 0011 0011 0011 001 + 2-21 = 101.01 0011 0011 0011 0011 010 = 5,299999237 + 2-20 = 5,300000191 5,300000191 – 5,3 = 1.91 · 10-7


Слайд 44

Примеры применения алгоритмов округления для числа 5.110 45 © Кафедра вычислительных систем ГОУ ВПО «СибГУТИ» Отбрасывание разрядов: 5.1 = 101.0 0011 0011 0011 0011 0011 00112 = 5,099999905 5,099999905 ? 5,1 = ? 0.95 · 10-7 Округление с использованием школьной арифметики 5.1 = 101.0 0011 0011 0011 0011 0011 00112 = 5,099999905 5,099999905 ? 5,1 = ? 0.95 · 10-7


Слайд 45

Машинный ноль 46 © Кафедра вычислительных систем ГОУ ВПО «СибГУТИ» ( e, f ,s) = s1.f ? be-q ( 0, 0 ,0) = +1.000 0000 0000 … ? 20-127 = 1.000 0000 0000 … ? 2-127 = 2-127


Слайд 46

Машинный ноль 47 © Кафедра вычислительных систем ГОУ ВПО «СибГУТИ» Число ?, для которого f = 0, мантисса m = 1.0, а порядок e принимает наименьшее значение (для float e = 0 => (e – q)= – 127) называется машинным нулем. Оно совпадает с минимальным положительным числом, которое может быть представлено числом с плавающей точкой при заданных размерностях f и e (для float размерность f – 23 бита, e – 8 бит). Любое число x < ? рассматривается как 0.


Слайд 47

Погрешности измерений 48 © Кафедра вычислительных систем ГОУ ВПО «СибГУТИ» Абсолютная погрешность (?х) ? разность между приближенным значением некоторой величины и ее точным значением: ?х = | xп – xт |, где xт – точное значение, а xп – приближенное. Относительная погрешность (?x) – погрешность измерения, выраженная отношением абсолютной погрешности измерения к действительному или измеренному значению измеряемой величины: ?x = ?х/xп, ?x = ?х/xт . ?x является безразмерной величиной


Слайд 48

Погрешность представления вещественных чисел 49 © Кафедра вычислительных систем ГОУ ВПО «СибГУТИ» В отличие от чисел с фиксированной точкой, сетка чисел, которые способна отобразить арифметика с плавающей точкой, неравномерна: она более густая для чисел с малыми порядками и более редкая — для чисел с большими порядками. Для чисел с фиксированной точкой постоянным является порядок абсолютной погрешности. Для чисел с плавающей точкой постоянным является порядок относительной погрешности.


Слайд 49

Погрешности вещественных чисел с фиксированной точкой 50 © Кафедра вычислительных систем ГОУ ВПО «СибГУТИ» Рассмотрим 2-хразрядные числа с фиксированной точкой, один разряд отводится под целую часть, второй – под дробную. x … 0.1 0.2 0.3 1.0 1.1 1.2 … 0.123 1.123 ?х1 = | xп – xт | = | 0.123 – 0.1 | = 0.023, порядок 10-2. ?х2 = | xп – xт | = | 1.123 – 1.1 | = 0.023, порядок 10-2. ?x1 = ?х/xп = 0.023/0.123 ? 0.186, порядок 10-1 ?x2 = ?х/xп = 0.023/1.123 ? 0,020 , порядок 10-2


Слайд 50

Погрешности вещественных чисел с плавающей точкой 51 © Кафедра вычислительных систем ГОУ ВПО «СибГУТИ» Рассмотрим 2-хразрядные числа с плавающей точкой, один разряд отводится под мантиссу, второй – под порядок. x … 0.1·10-9 0.2·10-9 0.3·10-9 0.3·109 0.123·10-9 0.123 ·109 ?х1 = | xп – xт | = 0.023·10-9, порядок 10-10. ?х2 = | xп – xт | = 0.023·109, порядок 108. ?x1 = ?х/xп = 0.023·10-9 / 0.123·10-9 ? 0.186, порядок 10-1 ?x2 = ?х/xп = 0.023·109 / 0.123·109 ? 0.186, порядок 10-1


Слайд 51

Машинный эпсилон 52 © Кафедра вычислительных систем ГОУ ВПО «СибГУТИ» Машинным эпсилоном называется наименьшее положительное число ? такое, что 1 ? ? ? 1, где ? ? машинное сложение. Пример: Пусть даны два числа: a и b = a + ?. Если ? < a·?, то с точки зрения машины a = b. a < a·(1 ? ?) < a·(1 ? ?) 1 ? ? = 1


Слайд 52

Программа поиска машинного эпсилона 53 © Кафедра вычислительных систем ГОУ ВПО «СибГУТИ» #include <stdio.h> int main() { float e,e1; int k=0; e=1.0; do { e=e/2.0; e1=e+1.0; k++; } while (e1>1.0); printf("Число делений на 2: %d\n",k); printf("Машинный эпсилон: %e\n",e); return 0; } Результаты работы: Число делений на 2: 24 Машинный эпсилон: 5.960464e-08


Слайд 53

Алгоритм сложения чисел с плавающей точкой 54 © Кафедра вычислительных систем ГОУ ВПО «СибГУТИ» Задача: найти число ? = ? ? ? а : (2p + 1) разрядный аккумулятор


Слайд 54

Алгоритм нормализации чисел с плавающей точкой 55 © Кафедра вычислительных систем ГОУ ВПО «СибГУТИ» Задача: обеспечить для числа ? = (e? , ± f ?), f ? < b выполнение условия: 1/b ? | f ? | < 1 почему?


Слайд 55

ИТОГИ 56 © Кафедра вычислительных систем ГОУ ВПО «СибГУТИ» Рассмотрены внутренние представления целых чисел: целых чисел без знака целых чисел со знаком прямой код, обратный код, дополнительный код; арифметические действия (сложение и вычитание) над знаковыми числами в дополнительном коде. Внутреннее представление вещественных чисел: вещественные числа с фиксированной и плавающей запятой; упаковка вещественных чисел; понятие машинного нуля, понятие погрешности вычислений, понятие машинного эпсилона; арифметические действия (сложение и вычитание) над вещественными числами с плавающей точкой.


Слайд 56

ЛИТЕРАТУРА 57 © Кафедра вычислительных систем ГОУ ВПО «СибГУТИ» Кнут, Д.Э. Искусство программирования. Том 2. Получисленные алгоритмы. – Вильямс, Addison Wesley Longman, 2000. – 500 с. – (Серия: Искусство программирования). – ISBN 0-201-89684-2. Воеводин, В.В. Вычислительная математика и структура алгоритмов. – М.: Изд-во МГУ, 2006. – 112 с. – ISBN 5-211-05310-9. Вылиток, А.А. Представление чисел в ЭВМ cmcmsu.no-ip.info/download/pc.number.representation.pdf Википедия, стандарт IEEE 754 1985 года http://en.wikipedia.org/wiki/IEEE_754-1985. Википедия, стандарт IEEE754 2008г. http://en.wikipedia.org/wiki/IEEE_754-2008.


×

HTML:





Ссылка: