'

Некоторые именные теоремы о треугольниках

Понравилась презентация – покажи это...





Слайд 0

Некоторые именные теоремы о треугольниках Борд Лиза 10М Учитель: Муравьёва Анна Петровна


Слайд 1

Теорема Чевы Три чевианы AA1,BB1,CC1 треугольника проходят через одну точку тогда и только тогда, когда


Слайд 2

Теорема Менелая Если точки A1,B1 и C1 лежат соответственно на прямых BC,CA и AB треугольника или на их продолжениях, то они лежат на одной прямой, тогда и только тогда, когда


Слайд 3

Задача №1 Доказать, что отрезки, соединяющие вершины тетраэдра с центроидами противоположных граней, пересекаются в одной точке и делятся ей в отношении 3:1, считая от вершин.


Слайд 4

Задача №1 Для ?A1DD2 и прямой AA2 по теореме Менелая: Так как A2 – центроид BCD, то Так как D2 – центроид ABC, то Поэтому


Слайд 5

Задача №1 Проведём теперь медиану CC1и отрезок CC2. Допустим что CC2 пересекает DD2 в точке O1. Докажем что О и О1 совпадают. ?СС1С2 и прямая DD2=>CO:OC2=3:1


Слайд 6

Задача №1 Аналогично для ?АА1А2 и прямой DD2=>AO:OA2=3:1 Для ?BB1B2 и прямой DD2=>BO:OB2=3:1 Замечание: Для правильного тетраэдра его центроид является центром вписанных и описанных шара и сферы.


Слайд 7

Теорема Ван-Обеля Пусть на сторонах АВ, ВС и АС взяты соответственно точки С1, А1 и В1. Если прямые АА1, ВВ1 и СС1 пересекаются в точке О, то имеет место равенство


Слайд 8

Доказательство Построим А2В2??АВ ?OCB2~?OC1B; ?OCA2~?OC1A; ?OA2B2~?OAB => ?A2CA1~?ABA1; ?CB2B1~?ABB1=> Следовательно,


Слайд 9

Задача №2 В каком отношении делятся биссектрисы треугольника точкой их пересечения? Поэтому, используя теорему Ван-Обеля находим


Слайд 10

Теорема Стюарта Пусть в ?ABC AB=c, BC=a, AC=b, точка D делит сторону AB на отрезки AD=c1, BD=c2; CD=d. Тогда имеет место равенство


Слайд 11

Доказательство Пусть CE – высота в ?АВС. Тогда cos?=DE/d. Умножим первое равенство на с2, второе на с1 и сложим Из этого получаем


Слайд 12

Задача №3 Вычислить биссектрису СС1 ?АВС по его сторонам АВ=с, АС=b, ВС=а. Биссектриса СС1 делит сторону АВ на отрезки АС1=с1 и ВС1=с2. Тогда с1+с2=с и ac1=bc2. Подставим эти равенства в равенство теоремы Стюарта Отсюда c


Слайд 13

Спасибо за внимание!


Слайд 14

Годы жизни Чева Джованни (1648-1734) – итальянский инженер, гидравлик и геометр. Доказал теорему в 1678 году. Менелай Александрийский(1 в.) – древнегреческий астроном и математик. Автор работ по сферической тригонометрии. Арабские авторы упоминают также о книге Менелая по гидростатике. М. Стюарт (Stewart Matthew 1717-1785) – английский математик, опубликовавший теорему в 1746 в труде «Некоторые общие теоремы».


×

HTML:





Ссылка: