'

Четыре замечательные точки треугольника

Понравилась презентация – покажи это...





Слайд 0

Четыре замечательные точки треугольника в Оглавление


Слайд 1

Теорема №1 Каждая точка биссектрисы неразвернутого угла равноудалена от его сторон1. Обратно: каждая точка, лежащая внутри угла и равноудалена от его сторон угла, лежит на его биссектрисе. 1 т.е равноудалена от прямых, содержащих стороны угла. в Оглавление


Слайд 2

Доказательство ?АМК = ?АМL (т. к. АМ -общая гипотенуза, МК = МL) ? ?ВАМ = ?МАС ? луч АМ- биссектриса ?ВАС В L К М С А 1) Возьмем произвольную точку М на биссектрисе ?ВАС МК ? АВ, МL ? AC. МК = МL (т.к ?АМК = ?АМL по гипотенузе и острому углу). 2) Точка М лежит внутри ?ВАС и равноудалена от его сторон АВ, АС. в Оглавление


Слайд 3

Следствие Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке О - точка пересечения биссектрис АА1, ВВ1 ?АВС. А В С М В1 С1 К А1 L О Проведем ОК ? АВ, ОL ? ВС, ОМ ? СА. ОК = ОМ и ОК = ОL ? ОМ = ОL. т.е точка О равноудалена от сторон ?АВС ? О ? биссектрисе СС1 этого угла, ? ВВ1 ? СС1 ? АА1 = О в Оглавление


Слайд 4

Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, проходящая через середину данного отрезка и перпендикулярная к нему. А В а в Оглавление


Слайд 5

Теорема №2 Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка. Обратно: каждая точка, равноудалённая от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему. в Оглавление


Слайд 6

Доказательство 1) Прямая m- серединный перпендикуляр к отрезку АВ. М А В О m N A B O m Точка О - середина этого отрезка. Докажем, что АМ = МВ. ?АМО = ?МОВ (по двум катетам) ? АМ = МВ 2) Точка N равноудалена от концов отрезка. Докажем, что точка N лежит на прямой m. ?АNВ - равноб. (т.к АN = NВ). NО - медиана и высота ? NO ? АВ, поэтому прямые ОN и m совпадают, т.е N- точка прямой m. в Оглавление


Слайд 7

Следствие Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке. Доказательство: m ? ВА, n ? ВС. В А С О n m р По теореме о серединном перпендикуляре ОВ = ОА и ОВ = ОС ? ОА = ОС Т.е точка О равноудалена от концов отрезка АС и, значит, лежит на серединном перпендикуляре p к этому отрезку ? перпендикуляры m, n и p пересекаются в точке О. в Оглавление


Слайд 8

Теорема №3 Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке. Доказательство Проведем через каждую вершину ? АВС прямые: С2В2 II ВС, С2А2 II АС, А2В2 II АВ. Получим ?А2В2С2 . В С2 В2 А С А2 В1 С1 А1 Точки А, В и С являются серединами сторон ? А2В2С2 ? АВ = А2С и СВ2 = АВ как противоположные стороны параллелограммов АВА2С и АВСВ2 ? А2С = СВ2. Аналогично С2А = АВ2 и С2В = ВА2 СС1 ? А2В2 , АА1 ? В2С2 и ВВ1 ? А2С2 ? АА1 ? С2В2, ВВ1 ? СС2 и СС1 ? В2А2 ? они пересекаются в одной точке. в Оглавление


Слайд 9

Задача №1 В треугольнике АВС, изображённом на рисунке, АС = ВС = АВ, ВМ = МС.     По условию задачи ?АОС = ?ВСО и АС = ВС, т. е. отрезок СО является биссектрисой равнобедренного треугольника, а поэтому она является также медианой и высотой. Следовательно, прямая СО проходит через середину отрезка АВ и перпендикулярна к этому отрезку, т. е. является серединным перпендикуляром к стороне АВ.   Т С А В М О ВТ ? АС, ?АОС = ?ВСО. Какая из прямых СО, ВТ является серединным перпендикуляром к стороне треугольника АВС.     Решение  в Оглавление


Слайд 10

Задача №2 Биссектрисы АА1 и ВВ1 треугольника АВС пересекаются в точке М. Найдите углы АСМ и ВСМ, если ?АВМ = 360. А В С А1 С1 М Решение 1) Проведём СС1 ? АВ. В1 2) Рассмотрим ?АСС1 = ?ВСС1 (по гипотенузе и острому углу.) ? ?А = ?В = 720 . 3)?А+?В+?С = 1800 (по теореме о сумме углов ?.) ? ?C = 360. 4)Точка М- равноудалена от вершин ?АВС. АА1 и ВВ1-биссектрисы ? СС1 является биссектрисой и они пересекаются в одной точке М ? ?ВСМ = ? АСМ = 180 в Оглавление


×

HTML:





Ссылка: