'

Математическое и компьютерное моделирование

Понравилась презентация – покажи это...





Слайд 0

Математическое и компьютерное моделирование Шориков Андрей Фёдорович, профессор, доктор физ.-мат. наук Институт математики и механики УрО РАН, Уральский государственный экономический университет Екатеринбург 2009


Слайд 1

1. О линейных алгебраических структурах Значительная часть истории развития естественных наук пред-ставляет собой летопись непрерывного стремления челове-чества к обобщению понятий, которые позволили бы предста-вить действительной мир в математических терминах. В исто-рии развития социальных наук (особенно экономических) в последнее время также наблюдаются определенные попытки выдвижения коли-чественно обоснованных теорий, использующих математические ме-тоды. Чтобы иллюстрировать математически некоторые законы дейст-вительного мира, необходимо создать соответствующие математи-ческие модели относительно одной или большего числа рассмат-риваемых параметров (переменных).


Слайд 2

Целью такой модели может быть, например, наилучшее распределение имеющегося объема финансовых средств банка среди нескольких объектов инвестирования, при-носящих разную доходность, с целью получения наиболь-шей суммарной прибыли, или наилучшая организация гру-зоперевозок транспортной фирмой внутри города, с целью обеспечения наименьшего пробега машин порожняком и выполнения всех заявок клиентов в срок и в полном объеме.


Слайд 3

Слайд №3 Следует отметить, что сформированная математическая мо-дель для конкретного рассматриваемого процесса или объекта может быть достаточно сложной для ее математического ана-лиза и тогда необходимы более упрощенные ее модификации. Причем, в некоторых случаях такие упрощенные модели могут с достаточно высокой степенью точности соответствовать опи-сываемому процессу или объекту. В других случаях доступные нам математические модели могут давать значения решений, отличающиеся более чем на 100% от результатов действи-тельных физических измерений.


Слайд 4

Таким образом, фактически, мы ожидаем, что сформи-рованная математическая модель будет служить для следующих основных целей: количественной оценки вы-бранных параметров для рассматриваемого процесса или объекта; предсказанию изменения их значений в будущем, т.е. для прогнозирования; влиянию на изменение значений выбранных показателей оценки качества рассматрива-емых процессов или объектов, т.е. управления ими. При этом точность, требуемая от такой модели, опреде-ляется конечной целью, для которой она создавалась.


Слайд 5

Линейность для различных математических структур представляет собой весьма общее понятие: существуют линейные алгебраические уравнения, линейные обыкно-венные дифференциальные уравнения, т.е. уравнения от-носительно производных функций от выбранных пере-менных и т.д. Все линейные модели обладают свойствами адди-тивности и однородности.


Слайд 6

С математической точки зрения, линейные модели имеют серьезные преимущества перед всеми остальными – нелиней-ными моделями. При этом, в случае нелинейных систем при применении математических методов почти всегда возникают трудности при их аналитическом (формульном) изучении и часто возникают потребности в применении компьютеров даже при ре-шении простейших задач поставленных в рамках этих моделей, т.е. требуется разработка сложных численных (приближенных) методов и алгоритмов для решения задач, сформулированных в рамках таких моделей.


Слайд 7

При этом во многих случаях даже мощные компьютеры оказы-ваются бесполезными для исследования таких систем. С другой стороны, часто значительно легче работать с линейными моде-лями и получать аналитические и численные решения, пред-ставляющие интерес для рассматриваемых практических задач.


Слайд 8

Оба эти фактора – доступность для исследования и достаточная точность приближения к действительному миру – делают линейные модели наиболее широко приме-нимым математическим аппаратом в естественных и соци-альных науках. Причем существуют математические методы, позволяющие при математическом моделировании рассмат-ривать только наиболее значимые для рассматриваемого про-цесса параметры и использовать только линейные матема-тические структуры, которые являются достаточно адекватными рассматриваемым процессам и позволяют получать прием-лемые для практики результаты решения соответствующих кон-кретных практических задач.


Слайд 9

При этом, под адекватностью математической модели исходному процессу понимают такую соответствующую ему математическую модель, что решение чисто математи-ческих задач, сформированных в рамках этой модели, поз-воляет получать приемлемые количественные резуль-таты для конкретных практических задач, связанных с данным процессом. Тогда возникает вопрос: «Что понимается под линейной операцией и чем она характеризуется?».


Слайд 10

Можно дать следующее формальное определение понятия линейной операции.


Слайд 11


Слайд 12


Слайд 13


Слайд 14

Можно сказать, что алгебраические структуры, порожденные линейными операциями над множествами элементов, в которых определены операции сложения элементов и умножения их на действительное число, называются линейными алгебраи-ческими структурами. Предметом для линейных алгебраических структур является изучение таких элементов, как вектора, матрицы, опре-делители, линейные алгебраические уравнения и др., изучение связанных с ними свойств и свойств порожденных ими структур (например, систем линейных алгебраических уравнений, систем линейных алгебраических неравенств, линейных пространств и др.), а также изучение связанных с ними математических задач и методов их решения.


Слайд 15

Основными задачами для линейных алгебраических структур являются следующие: изучения свойств линейных алгебраических структур; выяснения существования решений задач, порожден-ных линейными алгебраическими структурами; в случае существования решений таких задач, разработка методов нахождения их решений; разработка и изучение алгоритмов для реализации нахождения решений таких задач, например, на компьютере и др.


Слайд 16

Следует также отметить, что разработанный аппарат для линейных алгебраических структур, т.е. элементы рассматри-ваемых в ней структур и порожденные ими объекты и свойства, имеют широкое и важное применение в математическом моде-лировании, также при разработке и реализации различных алгоритмов для решения задач в различных математических моделях, т.е. в моделировании и решении конкретных приклад-ных, в том числе и экономических задач, например, на компьютерах.


Слайд 17

2. Методология математического и компьютерного моделирования Существуют различные подходы и принципы экономико-математического и компьютерного моделирования функ-ционирования сложных экономических систем (объектов) и ниже предлагается один из таких возможных под-ходов. Введем в рассмотрение следующее основное опре-деление.


Слайд 18

Под общей многоуровневой иерархической динамической экономической системой (объектом исследования), управ-ляемой основным субъектом управления, будем понимать совокупность ее внутренних частей (подсистем), состоящих из соответствующих им объектов и элементов, в которых рассматриваются процессы, управляемые соответствующими субъектами управления, имеющими собственные сферы интересов в условиях иерархической подчиненности основному субъекту управления, функционирующую в конкретной среде при наличии неопределенности, которую в целом можно раз-личать среди других систем и в своем составе она имеет:


Слайд 19

входные информационные устройства и средства (устройства ввода данных), сопряженные с ее объектами или элементами; устройства и средства для хранения данных (запоми-нающие устройства), сопряженные с ее объектами или элементами; устройства и средства, позволяющие реализовать математические, логические и иные операции для анализа и обработки данных, сопряженные с ее объек-тами или элементами; выходные информационные устройства и средства (устройства вывода данных), сопряженные с ее объек-тами или элементами;


Слайд 20

устройства и средства для реализации управляющих связей между ее объектами или элементами; устройства и средства для реализации информа-ционных связей между ее объектами или элементами; устройства и средства, позволяющие реализовать выбранные системы кодирования и декодирования дан-ных (например, в двоичной системе счисления), сопря-женные с ее объектами или элементами.


Слайд 21

Слайд №21 Тогда основные этапы математического и компьютерного моделирования различных задач проектирования и организационного управления в сложных многоуровневых иерархических динами-ческих экономических системах, функционирующих в условиях неопределенности, можно представить в виде реализации следующей последовательности основ-ных этапов.


Слайд 22

В рассматриваемой системе выделяется основной субъект управления рассматриваемыми в ней процессами, контролирующий основной уровень управления, и выделяются ее части (подсистемы) – другие (подчиненные) уровни управления, которые могут находиться в сфере интересов других (подчиненных) управляющих субъек-тов (если таковые присутствуют), находящихся в условиях иерархической подчиненности основному субъекту управления.


Слайд 23

В рассматриваемой системе и ее подсистемах выде-ляются наиболее значимые для их исследования соот-ветствующие им параметры состояния, характеризую-щие исследуемые в системе процессы в фиксированный момент времени (если рассматривается динамический процесс, как наиболее общий) и соответствующие им ограничения.


Слайд 24

Выделяются параметры управления процессами в системе в целом и подсистемах, которые могут изменяться по ходу реализации конкретного процесса в зависимости (по желанию и возможностям) от выбора соответствующего управляющего субъекта и соответ-ствующие им ограничения (физической реализуе-мости, технические, экономические и др.).


Слайд 25

Выделяются неуправляемые параметры для рас-сматриваемых в системе в целом и подсистемах процессов (неконтролируемые конкретным управля-ющим субъектом, или учитывающие влияние конкрет-ной внешней среды или описывающие погрешности моделирования процессов), которые изменяются вне зависимости от желания и возможностей конкретного управляющего субъекта и соответствующие им ограничения.


Слайд 26

Для каждой из подсистем и для системы в целом определяются параметры процессов, характеризую-щие их структуру и внутренние связи между объектами или элементами системы. Формируются условия информационного обеспечения для каждого из управляющих субъектов, которым под-чиняются соответствующие уровни управления, информаци-онные и управляющие связи между ними и условия иерархической подчиненности при принятии управлен-ческих решений субъектами управления, а также соответ-ствующие им ограничения.


Слайд 27

Для каждой из подсистем рассматриваемой системы формируются критерии (в частном случае ? один критерий), позволяющие оценивать качество функционирования этой подсистемы и формиру-ются также соответствующие критерии (или критерий), которые позволяют оценивать качество функционирования исследуемой системы в целом.


Слайд 28

Для каждой подсистемы, на основании выбранных соот-ветствующих критериев качества функционирования соответ-ствующих ей процессов, формируются цели, достижение которых является наилучшим или приемлемым для соответ-ствующего управляющего субъекта, и аналогично формиру-ются соответствующие цели и для субъекта, управ-ляющего рассматриваемыми процессами в системе в целом, которые в совокупности соответствуют сформиро-ванным критериям качества для рассматриваемых процессов.


Слайд 29

На основании предыдущих этапов определяется матема-тический и технический инструментарий моделирова-ния и формируются математические модели для каждой из подсистем и рассматриваемой системы в целом, учиты-вающие соответствующие им процессы, которые в какой-то мере адекватны реальным процессам и позволяют анализировать и исследовать их имеющимися сред-ствами и в приемлемое время.


Слайд 30

Для сформированных задач разрабатываются математические методы их решения в форме реализации соответствующих последовательнос-тей логических, математических и иных операций. В математических моделях процессов, исследуемых в подсистемах и рассматриваемой системе в целом, фор-мируются математические задачи, соответству-ющие набору имеющихся реальных задач и процессов.


Слайд 31

Для каждого из математических методов решения задач разрабатываются соответствующие им численные алгоритмы (также в форме логических, математических и иных операций), позволяющие реализовать моделиро-вание решения этих задач (например, на компьютере) с целью получения приемлемых результатов. С помощью программных и технических средств, на базе разработанных численных алгоритмов, осуществляется реализация математического и компьютерного моде-лирования исследуемых процессов в подсистемах и в рассматриваемой системе в целом.


Слайд 32

Рассматриваемая методология математического и компьютерного моделирования различных экономических систем и процессов в них может применяться как в целом, состоящая из всех этапов (для достаточно сложных экономических систем и процессов), так и частично ? в зависимости от основных целей моделирования и струк-туры конкретного исследуемого экономического процесса. Сделаем важное замечание – с помощью такого подхода можно реализовать математическое и компьютерное мо-делирование различных процессов в технике, экономике, медицине и в др. предметных областях деятельности человека.


Слайд 33

Отметим, что реальная исследуемая экономическая система может иметь достаточно большое количество значимых пара-метров (состояния, управляемых, неуправляемых и др.), ха-рактеризующих ее функционирование. Тогда для анализа и исследо-вания соответствующих ей процессов, выделяют только наиболее существенные (с точки зрения выбранных критериев качества процессов) параметры, описывающие ее подсистемы и систе-му в целом, т.е. снижают размерность соответствующих ма-тематических моделей, формируя упрощенный образ рас-сматриваемой системы. Затем разрабатывают математичес-кие модели подсистем и системы в целом, которые являются определенной абстракцией, приемлемой для исследования соответствующих им реальных процессов.


Слайд 34

Образно, сформированные математические модели по отно-шению к реальной экономической системе и ее подсистемам, учитывающие соответствующие им процессы, можно изобразить следующим образом.


Слайд 35

При этом математическая модель системы находится «вне реальной системы», а не содержится в ней, т.к. она может быть использована и для исследования других реальных систем и соответствующих им процессов. Так, например, математические модели могут быть такими мате-матическими структурами, которые могут применяться для моде-лирования и исследования реальных систем и соответствующих им практических задач, как в области экономики, так и в области медицины.


Слайд 36

3. Реализация методологии математического и компьютерного моделирования Приведенную выше последовательность основных этапов экономико-математического и компьютерного моделирования на практике можно реализовать в форме следующих основных блоков. I. Для выделенных значимых параметров состояния системы, структурных параметров, управляемых и неуправляемых па-раметров, в рамках выбранного математического инстру-ментария, формируется математическая модель, описы-вающая стационарные или динамические процессы, соответ-ствующие исследуемым процессам для подсистем и системы в целом в форме:


Слайд 37

1) алгебраических или операторных соотношений (детерми-нированных или стохастических, в случае, если объект стационарный); 2) алгебраических рекуррентных соотношений, дифферен-циальных или операторных динамических соотношений (детер-минированных или стохастических, в случае, если процесс ди-намический) и др. При этом соотношения будут стохастическими, если присут-ствуют неопределенные параметры, для которых известны их вероятностные характеристики.


Слайд 38

II. Для математических моделей подсистем и системы в целом, формируются имеющиеся управляющие связи, условия иерархической подчиненности и информационного обеспе-чения для соответствующих субъектов, управляющих подсисте-мами и для субъекта, управляющего системой в целом, в сле-дующем виде: ? информационных сигналов, являющихся «выходными данными» или значениями функционального (операторного) преобразования (соотношения), определенного на «входных данных» – параметрах состояния, структурных параметрах, управляемых или неуправляемых параметрах, при наличии погрешностей (ошибок) измерений (эти преобразования мо-гут иметь вид, например, действительных функций многих переменных, дифференциальных или операторных соотно-шений, описывающих уравнение измерений информацион-ных сигналов).


Слайд 39

III. Для каждой из подсистем рассматриваемой системы и для системы в целом формируются критерии качества функци-онирования соответствующих им процессов, которые в случае наличия, например, одного критерия, имеют вид дей-ствительной функции одной или нескольких действительных переменных, а в случае наличия нескольких критериев (наибо-лее общий случай) ? критерием качества является набор функций (или векторная функция), состоящий из набора дей-ствительных функций нескольких действительных переменных (в таких случаях говорят, что имеется векторный критерий качества или векторный показатель функционирования процес-са в конкретной подсистеме или в системе в целом – наиболее сложный показатель).


Слайд 40

IV. Для выделенных подсистем и системы в целом, а также для сформированных критериев качества функционирования под-систем и системы в целом, формируются цели, которые прес-ледуют соответствующие управляющие субъекты, имеющие обычно форму достижения максимальных или ми-нимальных значений соответствующих критериев (причем, для векторных критериев необходимо использовать аналогичные им понятия, с учетом специфики задачи).


Слайд 41

V. Для параметров состояния, структурных параметров, управляемых и неуправляемых параметров, всех априори неопределенных параметров системы (погрешностей модели-рования подсистем и системы в целом, ошибок измерений информационных сигналов, неопределенностей моделирования критериев качества рассматриваемых процессов и др.) форми-руются ограничения на их изменения, отражающие имеющие-ся реальные ограничения (физические, химические, биологи-ческие, экономические и др.) в форме:


Слайд 42

1) алгебраических уравнений или неравенств (детерми-нированных или стохастических); 2) дифференциальных уравнений или неравенств (детерми-нированных или стохастических); 3) операторных уравнений или неравенств (детерминированных или стохастических) или др. При этом важна достаточная адекватность ограни-чений в математической модели, имеющимся реальным ограничениям.


Слайд 43

VI. Для сформированных в блоках I – V математических моделей, образующих в комплексе математическую модель ис-следуемых процессов в рассматриваемой системе, формулиру-ются, например, математические задачи оптимизации гарантированного результата (позволяющие учитывать наличие неопределенности или конфликта в рассматриваемой системе), соответствующие реальным практическим задачам и для сформулированных задач разрабатываются математи-ческие методы их решения [см., например, 1,2], а также численные алгоритмы (например, в форме реализации конеч-ных последовательностей логических, математических и иных операций), позволяющие организовать и реализовать модели-рование решения этих задач, например, на компьютере.


Слайд 44

VII. На основе сформированных в блоке VI алгоритмов разрабатывается и формируется программное и техни-ческое обеспечение или используется стандартное, по-зволяющее реализовать процесс моделирования исходной системы и решения сформулированных в рамках ее задач, соответствующих исходным реальным задачам.


Слайд 45

VIII. С помощью сформированных программных и технических средств реализуется, например, компьютерное моделиро-вание исследуемых процессов для рассматриваемой системы. При этом в случае получения приемлемых результатов модели-рования, согласующихся с известными практическими резуль-татами, моделирование считается приемлемым для решения практических задач. В случае, если отсутствуют приемлемые результаты при компьютерном моделировании, то процесс формирования математической модели системы корректируется, начиная с блока I до блока VII, и затем повторяется до получения приемлемых результатов компьютерного модели-рования, согласующихся с практическими результатами реали-зации исследуемых процессов в рассматриваемой системе.


Слайд 46

Следует отметить, что процесс математического и компьютерного моделирования (в общем случае) является циклическим. При его реализации изменяются как рассматриваемые параметры исследуемой системы, так и используемые математические и технические средства.


Слайд 47

Таким образом, на основании вышеизложенного, можно сделать общий вывод, что для реализации математического и компью-терного моделирования сложных экономических процессов в форме многоуровневых иерархических динамических систем, необходимо изучение методов формирования и анализа таких моделей, методов и алгоритмов решения различных задач, которые могут быть сформулированы в рамках таких моделей (например, задач оптимизации гарантированного результата), а также исследование различных математических операций, которые позволяют организовать реализацию этих алгорит-мов, например, с помощью компьютера и современных инфор-мационных технологий, имеющимися или сформированными техническими и программными средствами.


Слайд 48

Тогда можно сделать вывод (более конкретный), что предметом математического и компьютерного модели-рования является изучение принципов и методов построения различных математических моделей реальных систем и со-ответствующих им процессов, анализ этих моделей, изучение методов и разработка алгоритмов решения различных задач, которые могут быть сформулированы в рамках таких моделей, а также исследование различных логических, математических и иных операций, которые позволяют организовать реализацию этих алгоритмов, например, с помощью компьютера, имею-щимися или сформированными программными и техническими средствами.


Слайд 49

4. Модели математического программирования Одной из наиболее общих и широко используемых в математическом моделировании, в частности, в эко-номико-математическом моделировании, является модель нелинейного математического программиро-вания, которая может быть описана следующим образом.


Слайд 50


Слайд 51


Слайд 52


Слайд 53

Задача 1 называется задачей нелинейного мате-матического программирования (НМП). Следует отметить, что задача 1 является наиболее общей среди так называемых оптимизационных задач на условный экстремум, т.е. задач, в которых требуется находить максимум или минимум заданной целевой функции на заданном множестве, которые формируются из каких-то классов функций и множеств.


Слайд 54

К задаче 1 НМП (как математической модели) сводятся различные и важные практические задачи, например, в области техники, экономики, биологии, медицины и др.


Слайд 55


Слайд 56

Для решения задач ЛМП разработан очень эффективный метод – симплекс-метод в случае, если система линейных неравенств, порождающая ограничения (1.2), является сов-местной. В разработку этого метода и исследование раз-личных свойств задач ЛМП внесли большой вклад выда-ющиеся математики Л.В. Канторович, Дж. Б. Данциг, Т.К. Купманс, Дж. Фон Нейман, Г.У. Кун, А.У. Таккер, а Л.В. Кан-торович и Т.К. Купманс получили за свои работы в этой области Нобелевскую премию по экономике.


Слайд 57

При этом для задач ЛМП разработаны также другие методы решения, которые могут быть использованы для моделирования решения различных практических задач, в том числе, и в экономике. Если в рассмотренных задачах математического программи-рования множество Х, ограничивающее множество всех допус-тимых состояний рассматриваемой системы или объекта является целочисленным, то такие задачи называются задача-ми целочисленного математического программирования (ЦМП). Для решения задач ЦМП также разработаны достаточно эффективные методы (например, направленного перебора, «ветвей и границ» и др.), допускающие численную реализацию на компьютере.


Слайд 58

5. Пример экономико-математического моделирования Пример 1. Пусть имеется производственное предприятие, которое выпускает два вида красок ? краски типа I и II. При этом стоимость 1 т краски типа I на рынке 3000 $, а стоимость 1 т краски типа II – 5000 $. Для производства 1 т краски типа I требуется 2 т сырья вида А и 1 т сырья вида В, а для производства 1 т краски типа II требуется 1 т сырья А и 2 т сырья В. Причем для производства каждой из красок требуется только эти две компоненты сырья. На данном предприятии имеются условия для хранения суточного запаса сырья вида А в объеме не превышающем 25 т, а сырья вида В ? не более 30 т.


Слайд 59

Тогда эти данные можно свести в следующую таблицу. Таблица 1 Из проведенных маркетинговых исследований известно, что суточный сбыт краски типа I не превышает 10 т, а возможный суточный сбыт краски типа II может превышать сбыт краски типа I не более чем на 3 т. Таким образом, имеются вышеописанные данные для решения рассматриваемой технико-экономической задачи организации производства, которую словесно можно описать следующим образом.


Слайд 60

Руководству предприятия требуется так органи-зовать суточное производство красок типа I и II, чтобы получить максимальный суточный доход от реализации обоих типов краски, причем требуется учитывать имеющиеся суточные складские запасы сырья и не зато-вариться готовой продукцией, т.е. учитывать суточный рыночный спрос. Это – словесное описание задачи производственного и организационного управления.


Слайд 61

В принципе эту задачу можно решать перебором возмож-ных вариантов различных суточных объемов производ-ства краски обоих типов при учете имеющегося склад-ского ресурса и спроса на краску. При достаточно большой номенклатуре производства и используемого сырья, такой способ нахождения решения может привести к необозри-мому числу необходимых арифметических операций и не исключено, что мы не сможем найти в приемлемое время существующий наилучший вариант суточного производства объемов красок для получения соответствующего максимально возможного суточного дохода. При этом отметим, что сущест-вует также трудность организации перебора допусти-мых вариантов производства.


Слайд 62

С другой стороны, для рассматриваемой задачи сущест-вует возможность формирования экономико-математи-ческой модели, которая достаточно адекватна условиям данного производства, хранения, сбыта и позволяет раз-работать эффективные методы решения рассматрива-емой технико-экономической задачи организации произ-водства. Ниже рассмотрим один из возможных вариантов экономико-математического моделирования.


Слайд 63

Это параметры состояния процесса, которые являются значимыми для данной задачи.


Слайд 64


Слайд 65


Слайд 66


Слайд 67


Слайд 68


Слайд 69


Слайд 70


Слайд 71

Для задач линейного математического программирования разработаны эффективные методы нахождения решений – оптимальных планов и оптимальных значений целевой функции и наиболее эффективным из них, с позиции численной реализации, является так называемый симплекс-метод. В соответствии с этим, задачу 2 можно решать также симплекс-методом. Решение задачи 2 при наличии достаточно большого числа переменных (от 10 и более), например, с помощью симплекс-метода, позволяет достичь большого реального эконо-мического эффекта.


Слайд 72

Таким образом, в соответствии с описанной выше методологией математического моделирования, для фор-мирования экономико-математической модели рас-сматриваемой задачи были использованы только неко-торые этапы: 1) ? 6), позволяющие учесть имеющиеся в данной задаче технико-экономические условия.


Слайд 73

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ Красовский Н.Н., Субботин А.И. Позиционные дифферен-циальные игры. М.: Наука, 1974. Шориков А.Ф. Минимаксное оценивание и управление в дискретных динамических системах. Екатеринбург: Изд-во УрГУ, 1997. Канторович Л.В. Экономический расчет наилучшего использования ресурсов. М.: Изд-во АН СССР, 1959. Карлин С. Математические методы в теории игр, програм-мировании и экономике. М.: Мир, 1964. Леонтьев В.В. Исследование структуры американской экономики. М.: Госстатиздат, 1958. Месарович М., Мако Д., Такахара И. Теория иерархических многоуровневых систем. М.: Мир, 1973. Нейман Дж., Моргенштерн О. Теория игр и экономическое поведение. М.: Наука, 1970.


Слайд 74

Никайдо Х. Выпуклые структуры и математическая экономика. М.: Мир, 1972. Интрилигатор М. Математические методы оптимизации и экономическая теория. М.: Айрис-пресс, 2003. Портер У. Современные основания общей теории систем. М.: Наука, 1971. Тер-Крикоров А.М. Оптимальное управление и матема- тическая экономика. М.: Наука, 1977. Федоренко Н.П. Оптимизация экономики. М.: Наука, 1977. Шориков А.Ф. Методология экономико-математического моделирования многоуровневых иерархических динами- ческих систем, функционирующих в условиях неопреде- ленности //Известия Уральского гос. экон. ун-та. 2005. № 12. С. 123-130. Шориков А.Ф. Методология моделирования много- уровневых систем: иерархия и динамика // Прикладная информатика. Научно-практический журнал. Москва. 2006. № 1. С. 136-141.


×

HTML:





Ссылка: