'

Муниципальное общеобразовательное учреждение Гимназии 2 «Квантор». Секция математики. Проект по алгебре. Тема: «Эффективные пути решения неравенств. Метод.

Понравилась презентация – покажи это...





Слайд 0

Муниципальное общеобразовательное учреждение Гимназии №2 «Квантор». Секция математики. Проект по алгебре. Тема: «Эффективные пути решения неравенств. Метод замены множителей». Разработчики: Марченко А. Д. Коршакова А. О. Учитель: Зайцева Е. В. г. Коломна 2008 год


Слайд 1

Эффективные пути решений неравенств. Метод замены множителей. Все неравенства с одной переменной, которые рассматриваются в школе или предлагаются в конкурсных заданиях вступительных экзаменов, имеют одну и ту же структуру ответа промежуток или объединение промежутков. Легко усваиваемыми учащимися неравенствами являются рациональные неравенства, решение которых рассмотрено в школьных учебниках и многочисленных пособиях для поступающих в вузы. Поэтому естественным признать желание свести решение неравенств повышенной сложности к решению рациональных неравенств. Оказывается, достаточно широкий класс неравенств подобную попытку допускает. Рассмотрим применение метода замены множителей.


Слайд 2

Содержание: 1.Замена знакопостоянных множителей. 2.Замена множителей с модулем. 3.Замена множителей с иррациональными выражениями.


Слайд 3

1. Замена знакопостоянных множителей. 1) Метод замены множителей применяется в неравенствах вида: V 0 Символ «V» означает один из четырех возможных знаков неравенства: <; ?; ?; >. 2) Основная идея метода замены множителей состоит в замене любого множителя M на знакосовпадающей с ним и имеющий одни и те же корни (в области существования всех множителей) множитель L. Замечание. Преобразованное таким образом неравенство всегда равносильно исходному в области существования последнего. Предупреждение. Указанная замена возможна только тогда, когда заменяемый множитель находится в числителе или знаменателе дроби, которая сравнивается с нулем.


Слайд 4

Пример 1. (МГУ факультет вычислительной математики и кибернетики, задача №1 из пяти) Решите неравенство: (X2 – 9) ?0 Решение: В неравенстве есть знакопостоянный множитель который провоцирует следующее неправильное решение. Так как произведение двух множителей (X2 – 9) и неотрицательно, и второй множитель неотрицателен, то и первый множитель (X2 – 9) должен быть неотрицательным. Поэтому решение неравенства определяется следующей системой: ¦X¦ ? 3 -3 3 x


Слайд 5

2) X2 – X – 2 = 0 3) X (-?; -3] [3; +?) -3 -1 2 3 x Полученный ответ не содержит X=2 и X=-1, которые были потерянны в результате решения. Теперь приведем одно из правильных решений. Корень из трехчлена в области допустимых значений всегда совпадают по знаку с этим трехчленом, поэтому имеем: (X2 – 9) ?0


Слайд 6

-3 -1 2 3 x x -1 2 X (-?; -3] X=-1 X=2 (-?; -3] [3; +?); -1; 2. X=3 Ответ: X Замена множителя на X2 – X – 2 позволило перейти от иррационального неравенства к стандартному рациональному неравенству в области допустимых значений исходного неравенства. 2. Замена множителей модулем. Опорная информация, позволяющая указать удобные замены, заключается в двух основных свойствах модуля: ¦m¦ =m ¦m¦?0 для всех m, а так же в монотонном возрастании на множестве неотрицательных чисел функции Типы замен: y=t ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )


Слайд 7

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) Удобно указать частные случаи замен: - (ax2+bx+c) ( -ax2-bx-c) ( +ax2+bx+c) a>0 и D?0 (ax2+bx+c- ) (ax2+bx+c+)(ax2+bx+c- ) Пример 2. Решите неравенство: Решение: Каждый множитель как в числителе так и в знаменателе есть разность неотрицательных чисел. Поэтому заменяя их на разность квадратов, получим равносильное неравенство в области значения.


Слайд 8

Далее, пользуясь свойством модуля ¦m¦ =m и раскладывая на множитель разности квадратов, получим. –X2+X-6=0 2) X2+X+2=0 D=1-24<0 D=1-8<0 -X2+X-6<0 X2+X+2>0 При X /R При X /R


Слайд 9

Заменим первый множитель на (-1); второй – на множитель (1) Получим: Следует: -3 -2 1 5 X Вернемся к системе:


Слайд 10

Ответ: ( - 3; - 2 ) [ 2; 5 ) Пример 3. Решить неравенство: Решение:


Слайд 11

1) –X2+2X+8=0 X2-2X-8=0 2)2X2+2>0 При X /R Заменим (1) 3)2X2+6>0 При X /R Заменим (1) 4)X2-X-2=0


Слайд 12

-9 -2 -1 0 1 2 4 X X (-2; -1) (0; 1) (2; 4) Ответ: (-2; -1) (0; 1) (2; 4) Пример 4. В этом неравенстве уже нельзя множители ( ) и (¦X+14¦-2X) рассматривать как разности неотрицательных чисел, так как выражения 3x и 2x в области допустимых значений ( т.е x?-10) могут принимать как положительные так и отрицательные значения. Однако, если область допустимых значений исходного неравенства разбить на два промежутка -10?x?0 и x>0 (точка x=0 есть точка смены знака выражений 3x и 2x, то заметим, что на промежутке -10?x?0 имеем произведение двух положительных чисел, и поэтому неравенство ложно, а при x>0 каждый множитель есть разность двух неотрицательных чисел, а следовательно можно воспользоваться методом замены множителей. Итак.


Слайд 13

( )(| +14|-2x)<0 А это ложно; При X>0 1) X+1>0 2) 3X+14>0


Слайд 14

0 10/9 14 X X (10/9; 14) Ответ: (10/9; 14) Пример 4. Наводит на мысль, как действовать в произвольной подобной ситуации: область допустимых значений неравенства разбить на промежутки знакопостоянства выражений, которые необходимо возводить в квадрат, чтобы воспользоваться методом замены множителей; далее на каждом из полученных промежутков решать исходное неравенство и полученные ответы объединить. Рассмотрим пример. Пример 5. Решить неравенство: 1) О.Д.З.


Слайд 15

-18 -1 1 X X [-18; -1] [1; +?) 2)О.Д.З. нулями выражений (2-x) и (x2-2x) разбивается на три промежутка. -18 -1 0 1 2 X 1. -18?x?-1; 2.1?x?2; 3.x?2. 1.Решаем неравенство на (1) промежутке. -18?x?-1 Заметим: 1) (заменим (1))


Слайд 16

2) 2-x>0; 3) x(x-2)>0 Проведём замену, получим 1.x-2 <0 заменим на (-1); 2.x2-4x+8=0 X2-4x+8>0 при x принадл. R, заменим на ?1? 3.x-7<0 заменим на ?-1?


Слайд 17

-18 -2 -2 -1 x 2.Рамотрим неравенство на втором промежутке x принадлежит [1;2]. 1.x>0 2.x?x-2??0, след. |2x-8|-?x-2?>0, заменим на ?1?. 3.2-x>0, Тогда:


Слайд 18

X2-5X-14>0 -2 1 2 7 X 3.Решаем неравенство на третьем промежутке x?2 При x?2 1. 2-x=0 на (-1) 2. 3.x>0 4.x(x-2)?0 Получим


Слайд 19

(-X2+4X-8)(X2-8)<0 (X2-4X+8)(X-2 )(X+2 )>0 X2-4x+8>0, при x принадлеж. IR (Д>0). Тогда 5.Объединим ответы, полученные в разобранных трёх случаях.


Слайд 20

-18 -2 -1 2 X Ответ: [-18;- 2 ?*?-2;-1]*[ 2 ;+??.


Слайд 21

Вывод: Рассмотрев данные примеры, можно сделать вывод, что, овладев техникой применения метода данных множителей можно значительно быстрее двигаться к ответу при решении неравенств, предлагаемых в конкурсных заданиях. Мы рассмотрели задания, предлагаемые на вступительных экзаменах по математике на основных факультетах МГУ. Метод замены множителей применяется при решении неравенств, содержащих показательные и логарифмические выражения.


Слайд 22

Используемая литература: 1)«Квантор» В. И. Голубев; В. И. Тарасов. «Эффективные пути решения неравенств». 2)«Сборник по математике доя поступающих в вузы» под редакцией М. И. Сканави. 3)Задания из практики приёмных экзаменов МГУ им. М. В. Ломоносова.


×

HTML:





Ссылка: