'

способов решения тригонометрического уравнения или еще раз о

Понравилась презентация – покажи это...





Слайд 0

способов решения тригонометрического уравнения или еще раз о Авторы : Тихонова Л. В., ОУ № 9 Галимзянова Ю. Ш., Магнитогорский лицей №1 sin x – cos x=1 красоте математики. 7


Слайд 1

Математики видят ее в: гармонии чисел и форм, геометрической выразительности, стройности математических формул, решении задач различными способами, изяществе математических доказательств, порядке, богатстве приложений универсальных математических методов. Проблема красоты привлекала и привлекает величайшие умы человечества.


Слайд 2

Но красота математики выражается не только в красоте форм ,наглядной выразительности математических объектов, восприятие которых сопряжено с наименьшими усилиями. Ее привлекательность будет усиливаться за счет эмоционально-экпрессивной составляющей - оригинальности, неожиданности, изящества. Математики живут ради тех славных моментов, когда проблема оказывается решенной, ради моментов озарения, инсайта, восторга


Слайд 3

Можно ли насладиться решением уравнения sinx-cosx=1? Да, если стать его исследователем! способы решения уравнения sinx-cosx=1 и , поверьте, красота математики станет вам доступной!


Слайд 4

Универсальные методы решения уравнения sin x – cos x=1 Мы уже говорили о богатстве приложений универсальных математических методов. При решении уравнений одним из них является метод разложения на множители. Можно ли применить его к решению уравнения Sin x –cos x = 1? На первый взгляд,кажется что нет… А если использовать специфические тригонометрические преобразования


Слайд 5

Мы не просто в правой части уравнения получили ноль,мы выделили выражение 1 + cos x … Как вы думаете зачем Рассуждаем Преобразуем исходное уравнение Sin x – cos x = 1 к виду Sin x – ( 1 + cos x) = 0.


Слайд 6

Ну, конечно,вы догадались ! Необходимо перейти к половинному аргументу, применив формулу повышения степени и формулу двойного аргумента Итак…


Слайд 7

Разложение левой части уравнения на множители sinx-cosx=1 1-й способ


Слайд 8

Произведение равное нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а остальные при этом не теряют смысла, поэтому однородное уравнение первой степени.


Слайд 9

Делим обе его части на что противоречит тождеству Получим Ответ:


Слайд 10

А может вы заметили, что левая часть уравнения sin x – cos x является однородным выражением первой степени относительно sin x и cos x и тут же огорчились,поняв ,что само уравнение не является однородным ( в правой части – не ноль) ? неоднородное уравнение первой степени превращается ( вот здорово!) в однородное уравнение второй степени относительно sin x и cos x .Конечно ,вы разгадали этот фокус. Трах-тибидох… Не огорчайтесь. Немного математической магии… и по волшебству


Слайд 11

Приведение уравнения к однородному относительно синуса и косинуса sinx-cosx=1 Разложим левую часть по формулам двойного аргумента, а правую часть заменим тригонометрической единицей: 2-й способ И так далее, как в предыдущем способе …


Слайд 12

Тригонометрия удивительна тем ,что она даёт собственные оригинальные способы преобразования разности (или суммы) тригонометрических функций в произведение: Но увы, в левой части уравнения, мы видим разноименные функции. Как изменить название функции на «кофункцию» ? Есть изящный способ!!! Вы уже догадались? Нет? А всего лишь нужно применить формулу приведения!


Слайд 13

3-й способ. Преобразование разности ( или суммы) тригонометрических функций в произведение. sinx-cosx=1 Запишем уравнение в виде: Применяя формулу разности двух синусов, получим Ответ:


Слайд 14

Другим универсальным методом решения уравнений является замена переменной. И хотя для данного уравнения этот способ не самый простой,но он применим , причем в двух вариантах! В первом случае используется основное тригонометрическое тождество А во втором – универсальная подстановка.


Слайд 15

4-й способ Приведение к квадратному уравнению относительно одной из функций sinx-cosx=1 Так как Возведем обе части полученного уравнения в квадрат


Слайд 16

В процессе решения обе части уравнения возводились в квадрат, что могло привести к появлению посторонних решений, поэтому необходима (обязательна!) проверка. Выполним ее. Полученные решения эквивалентны объединению трех решений: х у ?/2 ? -?/2


Слайд 17

Первое и второе решения совпадают с ранее полученными, поэтому не являются посторонними. Проверим Левая часть: Правая часть:1. Следовательно,


Слайд 18

5-й способ Выражение всех функций через tgx (универсальная подстановка) по формулам: С учетом приведенных формул уравнение sinx-cosx=1 запишем в виде


Слайд 19

Умножим обе части уравнения на ОДЗ первоначального уравнения – все множество R.


Слайд 20

При переходе к из рассмотрения выпали значения, при которых не имеет смысла, т.е. Следует проверить, не является ли х=?+2?k решением данного уравнения. Левая часть: sin(?+2?k)-cos(?+2?k)=sin?-cos?=0-(-1)=1. Правая часть: 1. Значит, х=?+2?k, k€Z – решение уравнения. Ответ:


Слайд 21

На ряду с универсальными методами решения уравнений, есть и специфические. Наиболее ярким из них является метод введения вспомогательного угла (числа). Благодаря этому приёму исходное уравнение легко сводится к простейшему – Последний метод, предлагаемый нами, связан также с нестандартным преобразованием тригонометрического уравнения – возведением обеих частей в квадрат. И хотя он является коварным в плане приобретения посторонних корней, но подкупает своим оригинальным способом сведения исходного уравнения к простейшему! просто и красиво!


Слайд 22

6-й способ Введение вспомогательного угла (числа) sinx-cosx=1 В левой части вынесем за скобку ( корень квадратный из суммы квадратов коэффициентов при sinx и cosx). Получим Ответ:


Слайд 23

С помощью тригонометрического круга легко установить, что решение распадается на два случая х у ?/4 3?/4


Слайд 24

7-способ Возведение обеих частей уравнения в квадрат sinx-cosx=1


Слайд 25

Полученное решение эквивалентно объединению четырех решений: Проверка показывает, что первое и четвертое решения – посторонние. Ответ: x 0 y ?/2 ? -?/2


Слайд 26

ВСЁ! Точнее почти всё! Осталось выбрать метод решения, победивший в номинации: Самый простой; Самый оригинальный; Самый неожиданный; Самый универсальный … УДИВИТЕЛЬНОЕ И КРАСИВОЕ ВСЕГДА РЯДОМ! ДЕРЗАЙТЕ!!!


×

HTML:





Ссылка: