'

Уроки 8-9

Понравилась презентация – покажи это...





Слайд 0

Уроки 8-9 Дифференциальные уравнения второго порядка


Слайд 1

y’’ = f(x,y,y’). y = ?(x,C’,C’’), Общее решение где С’,С’’ - независимые постоянные, Тогда начальные условия: у = у0 y/(х = х0) = y/0 tg ?0 = y/0 Вообще через каждую точку М0(х0,у0) плоскости Оху проходит пучок интегральных кривых. Поэтому нужно не только выбрать кривую, но еще и указать ее направление.


Слайд 2

Пусть имеем линейное дифференциальное однородное уравнение y’’ + p?y’ + q?y = 0. (2.8) где p, q - постоянные коэффициенты. Будем искать частное решение в форме Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами k = Const и ее нужно определить.


Слайд 3

так называемое характеристическое уравнение


Слайд 4

Для составления характеристического уравнения достаточно в уравнении производные у’’, у’ и саму функцию у заменить на соответствующие степени k.


Слайд 5

. , : ; 1. следовательно, имеем два действительных корня k1 и k2. Следовательно, уравнение допускает два различных частных решения если k1?k2, то эти решения будут линейно независимы.


Слайд 6

Определение. Два решения у1 и у2 называются линейно зависимыми, если можно подобрать постоянные числа а1 и а2, неравные одновременно нулю, такие, что линейная комбинация этих функций тождественно равна нулю, то есть а1?у1 + а2?у2 ? 0. В противном случае (то есть если таких чисел подобрать нельзя) у1 и у2 называются линейно независимыми. Тогда общее решение данного уравнения есть линейная комбинация этих частных решений


Слайд 7

, . : . . 2. , следовательно, В этом случае корень называется кратным, и частное решение будет одно Всякое другое частное решение у2, линейно независимое с у1, обязательно должно иметь вид у2 = у1?z(x), где z(x) - некоторая функция, не являющаяся константой


Слайд 8

. y’’ + p?y’ + q?y = 0


Слайд 9

. или Следовательно, z’’ = 0.


Слайд 10

Тогда z’ = a и z = ax + b, где a и b - произвольные константы. И, следовательно, Если нам нужно только частное решение, то можно принять а=1,b=0 и тогда То есть общее решение уравнения во втором случае имеет вид . 3.


Слайд 11

3. , то будем иметь два сопряженных комплексных корня и . . k1 = ? + i?? и k2 = ? - i??, где Таким образом, общее решение имеет вид


Слайд 12

Пусть дано дифференциальное уравнение y’’ + p?y’ + q?y = 0 1. Если характеристическое уравнение имеет действительные корни k1, k2 такие, что k1 ? k2, то все решения имеют вид 2. Если характеристическое уравнение имеет равные действительные корни k=k1=k2, то решение имеет вид 3. Если характеристическое уравнение имеет мнимые корни k1,2 = ? ? i??, (? ? 0), то


Слайд 13


×

HTML:





Ссылка: