'

Целочисленные задачи

Понравилась презентация – покажи это...





Слайд 0

Целочисленные задачи Выполнили: Красилич Надежда Ведерникова Анастасия


Слайд 1

Методы решения Нелинейные уравнения


Слайд 2

1)Разложение на множители Решить уравнение 2х?+ху-7=0 в целых числах.


Слайд 3

Решение: Приведем данное уравнение к виду Х(2х?+у)=7. Так как 7=1*7=7*1=-1*(-7)=-7*(-1), то рассмотрим четыре системы 1) х=1 2) х=7 2х?+у=7 2х?+у=1 3) х=-1 3) х=-7 2х?+у=-7 2х?+у=-1 Ответ: (1;5), (-1;-9), (7;-97), (-7;-99)


Слайд 4

2) Применение формул сокращенного умножения Найдите все пары натуральных чисел, разность квадратов которых равна 55


Слайд 5

Решение: Запишем условие задачи в виде уравнения х ? - у ? = 55 или (х-у)(х+у)=55 Поскольку х-у<х+у и 55=1*55=5*11, то возможны 2 случая х-у=1 х-у=5 х+у=55 х+у=11 Ответ: (28;27), (8;3)


Слайд 6

3) Способ группировки Решите уравнение ху+3х-у=6 в целых числах


Слайд 7

Решение: Запишем уравнение в виде Х(у+3)-(у+3)=3 или (х-1)(х+3)=3 Рассмотрим 4 системы х-1=1 х-1=3 х+3=3 х+3=1 х-1=-1 х-1=-3 х+3=-3 х+3=-1 Ответ: (4;-2), (-2;-4), (2;0), (0;-6)


Слайд 8

4)Разложение квадратного трехчлена Решите уравнение х ?-3ху+2у ?=11 в целых числах


Слайд 9

Решение: Решим уравнение х ?-3ху+2у ?=0 относительно неизвестной х: х1=у и х2=2у Тогда получаем (х-у)(х-2у)=11 Рассмотрим 4 системы х-у=1 х-у=11 х-2у=11 х-2у=1 х-у=-1 х-у=-11 х-2у=-11 х-2у=-1 Ответ: (21;10), (-9;-10), (-21;-10), (9;10)


Слайд 10

Метод решения относительно одной переменной


Слайд 11

1) Выделение целой части Найдите все пары целых чисел х и у, удовлетворяющих уравнению 3ху+14х+17у+71=0


Слайд 12

Решение: Выразим из данного уравнения у через х: У=-(14х+71)/(3x+17) ОДЗ: 3х+17=0 Выделим из дроби в правой части этого равенства правильную алгебраическую дробь (у которой степень числителя меньше степени знаменателя)


Слайд 13

У=-(4(3х+17)+2х+3)/(3х+17) У=-4 –(2х+3)/(3х+17) Умножим обе части последнего равенства на 3: 3у=-12- (6х+9)/(3х+17)=-12 – 2+ 25/(3х+17) Поскольку числа 3у и 14-целые, то 3х+17 должно быть делителем числа 25:1,-1, 5,-5, 25,-25 Ответ: (-4;-3), (-6;-13), (-14;-5)


Слайд 14

Замечание!!!! В решении был использован прием домножения обеих частей равенства на коэффициент при х в знаменателе. Этот прием домножения также удобно использовать при решении уравнений методом разложения на множители.


Слайд 15

2) Использование дискриминанта (неотрицательность) Решите уравнение 3(х?+ху+у?)=х+8у в целых числах


Слайд 16

Решение: Рассмотрим уравнение как квадратное относительно х: 3х ?+(3у-1)х +3у ?-8у=0 Найдем дискриминант D=-27у ?+90у+1. данное уравнение имеет корни, если D>=0, т.е. - 27у ?+90у+1>=0. Так как у принадлежит целым числам, то получаем 0<=y<=3. перебирая эти значения, получим, что исходное уравнение в целых числах имеет решения (0;0) и (1;1)


Слайд 17

3)Использование дискриминанта (полный квадрат) Решите уравнение х ?-ху+у ?=х+у в целых числах


Слайд 18

Решение: Рассмотрим уравнение как квадратное относительно х: х ?-(у+1)х+у ?-у=0 D=-3у ?+6у-1=а ? должен быть квадратом некоторого числа а. получаем новое уравнение 3у ?+6у-1+а ?=0. Из последнего уравнения следует, что а ?<=4, т.е. а<=2


Слайд 19

1)Если а ?=0, то уравнение 3(у-1) ?=4 не имеет целого решения у 2)Если а ?=1, то уравнение 3(у-1) ?=3 имеет целые решения у1=2 и у2=0. при у =2 получаем квадратное уравнение х?-3х+2=0 х1=1, х2=2. при у=0 получаем квадратное уравнение х?-х=0 х3=0,х4=1 3)Если а ?=4, то уравнение 3(у-1) ?=0 имеет одно целое решение у=1. при у=1 получаем х ?-2х=0 х1=0, х2=2


Слайд 20

Ответ: (1;2), (2;2), (0;0), (1;0), (0;1), (2;1)


Слайд 21

Метод остатков Решите в целых числах уравнение 3 ? +7=2 ?


Слайд 22

Решение: 1)Если а<0, то уравнение не имеет решений в целых числах. Действительно 0<3 ? <1, тогда первая часть уравнения 3 ? =2 ? -7является целым числом при c>=0(что невозможно) или первая часть уравнения 7=2 ? -3 ? меньше 7 при c<0. 2) Пусть а=0, тогда из уравнения 2 ? =8 получаем с=3


Слайд 23

3) Теперь считаем, что а>0. так как уравнение содержит степень с основанием 3, то рассмотрим остатки деления на 3. левая часть исходного уравнения при делении на 3 имеет остаток 1. Когда правая часть 2 ? имеет остаток 1? легко показать, что при четном с=2х выражение 2??=4?=(3+1)?=3?+3? ?+…3+1=3t+1 имеет остаток 1. при нечетном с=2х+1 выражение 2? ?=2*4?=2(3t+1)=6t+2 имеет остаток 2


Слайд 24

Итак с=2х. Тогда 3 ? =2??-7=4?-7. Правая часть последнего уравнения имеет остаток 1 при делении на 4 (число – 7 попадает в множество –класс остатков содержащее1). Когда левая часть 3 ? имеет остаток 1? Покажем, что при а=2r выражение 3? ? =9 ? = (8+1) ? = 8?+8? ?+..+8+1=8s+1 имеет остаток 1. при нечетном а=2r+1 выражение 3? ? ? =3*9 ? =3(8s+1)=24s+3 имеет остаток 3.


Слайд 25

Итак, а=2r. Тогда уравнение запишем в виде 2 ??-3? ? =7 или (2 ?-3 ? )(2?+3 ? )=7. Так как 2 ?-3 ? > 2 ?+3 ? и 2 ?+3 ? >0, то имеем единственный случай 2 ?+3 ? =7 2 ?-3 ? =1 Отсюда получаем, что х=2, r=1 и а=2, с=4 Ответ: а=2, с=4 или а=0,с=3


Слайд 26

Метод «спуска» Решите уравнение 2х?-5у?=7 в целых числах


Слайд 27

Решение: Так как 2х?-четное число, а 7-нечетное число, то 5у?- должно быть нечетным, т.е. у –нечетное число Пусть у=2z+1, где z-целое, тогда данное уравнение можно записать в виде: х?-10z?-10z=6. Отсюда видно,что х должно быть четным.


Слайд 28

Пусть х=2m, тогда последнее уравнение примет вид 2m?-5z(z+1)=3, что невозможно, так как z(z+1)-четно, а разность двух четных чисел не может быть равна нечетному числу. Таким образом, данное уравнение не имеет целых решений. Ответ: нет решений


×

HTML:





Ссылка: