'

Глава II. Векторная алгебра. Элементы теории линейных пространств и линейных операторов

Понравилась презентация – покажи это...





Слайд 0

Глава II. Векторная алгебра. Элементы теории линейных пространств и линейных операторов Раздел математики, в котором изучаются свойства операций над векторами, называется векторным исчислением. Векторное исчисление подразделяют на векторную алгебру и векторный анализ. В векторной алгебре изучаются линейные операции над свободными векторами (сложение векторов и умножение вектора на число) и различные произведения векторов (скалярное, псевдоскалярное, векторное, смешанное и двойное векторное). В векторном анализе изучают векторы, являющиеся функциями одного или нескольких скалярных аргументов.


Слайд 1

§ 6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Вектором называется направленный отрезок (т.е. отрезок, у которого одна из ограничивающих его точек принимается за начало, а вторая – за конец).


Слайд 2

Расстояние от начала вектора до его конца называется длиной (или модулем) вектора. Вектор, длина которого равна единице, называется единичным. Вектор, начало и конец которого совпадают, называется нулевым. Нулевой вектор не имеет определенного направления и имеет длину, равную нулю. Векторы, лежащие на одной или параллельных прямых, называются коллинеарными (параллельными).


Слайд 3


Слайд 4


Слайд 5

2. Линейные операции на множестве векторов 1) Умножение на число; 2) Сложение векторов


Слайд 6


Слайд 7


Слайд 8

СВОЙСТВА ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАЦИЙ НАД ВЕКТОРАМИ


Слайд 9

§ 7. Понятие линейного пространства 1. Определение и примеры Пусть L – некоторое множество, элементы которого можно складывать и умножать на числа из F (где F – множество рациональных, действительных или комплексных чисел). ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Множество L называется линейным пространством над F если для любых элементов a,b,c?L и для любых чисел ?,??F выполняются условия: 1. a+b=b+a (коммутативность сложения элементов из L); 2. (a+b)+c=a+(b+c) (ассоциативность сложения элементов из L); 3. Во множестве L существует такой элемент o, что a+o=a. Элемент o называют нулевым элементом множества L; 4. Для любого элемента a? L ? элемент –a? L такой, что a+(–a)=o. Элемент –a называют противоположным к a; 5. ?(?a)=(??)a (ассоциативность относительно умножения чисел);


Слайд 10

6. (?+?)a=?a+?a (дистрибутивность умножения на элемент из L относительно сложения чисел); 7. ?(a+b)=?a+?b (дистрибутивность умножения на число относительно сложения элементов из L); 8. 1a=a. Линейное пространство над ? называют еще вещественным (действительными) линейным пространством, а над ? – комплексным. ЛЕММА 2. Пусть L – линейное пространство над F. Тогда для любых элементов a,b? L и любых чисел ?,?? F справедливы следующие утверждения: 1) 0·a = o, ?·o = o; 2) (–?) · a = ? ·(–a) = –?a, (–?) ·(–a) = ?a; 3) ? ·(a–b) = ?a – ?b, (?–?) · a = ?a – ?a. Наряду с термином «линейное пространство» используется также термин «векторное пространство», а элементы линейного пространства принято называть векторами.


Слайд 11

2. Подпространства линейных пространств Пусть L – линейное пространство над F, L1 – непустое подмножество в L. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Говорят, что L1 является подпространством линейного пространства L (или линейным подпространством), если оно само образует линейное пространство относительно операций, определенных на L . Если L1 является подпространством линейного пространства L, то пишут: L1 ? L ТЕОРЕМА 3 (критерий подпространства). Пусть L – линейное пространство над F, L1 – непустое подмножество в L . L1 является подпространством линейного пространства L тогда и только тогда, когда для любых элементов a,b? L1 и любого ?? F выполняются условия: 1) a – b? L1; 2) ?·a ? L1.


×

HTML:





Ссылка: