'

Некоторые свойства

Понравилась презентация – покажи это...





Слайд 0

Некоторые свойства медиан треугольника


Слайд 1

Теорема. Медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника. Обратное утверждение: «Если отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны, делит данный треугольник на два равновеликих треугольника, то этот отрезок является его медианой». Докажем, к примеру, обратное утверждение.


Слайд 2

Доказательство I способ. Пусть ВМ – данный отрезок и SABM = SBMC. Проведем высоту ВН треугольника. Тогда 2SABM = AM•ВH и 2SBMC = MC•BH . Ясно, что AM•BH = MC•BH и АМ=МС. Следовательно, отрезок ВМ – медиана данного треугольника.


Слайд 3

II способ. 1. Пусть ВМ – данный отрезок и SABM = SBMC. Отрезки AP и СQ – высоты треугольников АВМ и ВМС, проведенные к одной и той же стороне. 2. Так как SABM = SBMC, то AP • BM = CQ • BM, откуда AP = CQ. 3. ?AMP = ?CMQ (по катету и острому углу).AM = CM. Следовательно, отрезок ВМ – медиана данного треугольника.


Слайд 4

Решим задачу. Пусть точка К – произвольная точка медианы BM треугольника ABC. Докажите, что SABK+SMKC = SBKC + SAKM. Доказательство. KM - медиана треугольника AKC, поэтому SAKM = SMKC (1).


Слайд 5

BM - медиана треугольника ABC, следовательно, SABM = SBMC (2). Вычтем почленно из равенства (2) равенство (1) SAKM = SMKC : SABM – SAКM = SBMC – SMKC. Получаем, что SABK = SBKC.(3)


Слайд 6

Перепишем равенство (1) в виде: SMKC = SAKM и, сложив его почленно с равенством (3) SABK = SBKC, получим требуемое: SABK+SMKC = SBKC + SAKM.


Слайд 7

Теперь докажем два утверждения. Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении 2 : 1, считая от вершин, из которых они проведены. Медианы треугольника, пересекаясь, делят его на шесть равновеликих треугольников.


Слайд 8

Пусть AM и BN - медианы треугольника ABC, пересекающиеся в точке О.Через точку O проведем отрезок CP с концом P на стороне AB.Так как точка O лежит на медиане ON треугольника ABC, то SAON=SONC=S1.


Слайд 9

Так как точка О лежит на медиане ОМ треугольника ВОС, то SBOM = SOMC = S2. Так как О – точка медианы BN, то SAOB = SBOC = 2S2. Ввиду того, что О – точка медианы АМ, SAOB = SАOC ,то есть 2S2 = 2S1 и S2 = S1.


Слайд 10

Значит, SAOC = SBOC, то есть отрезок CP - медиана треугольника ABC, следовательно, медианы треугольника пересекаются в одной точке. Треугольники BOC и CON имеют общую высоту, проведенную к сторонам BO и ON соответственно и SBOC : SCON = 2 : 1.


Слайд 11

Итак, BO : ON = 2 : 1. Тем самым доказано, что медианы точкой пересечения делятся в отношении 2 : 1, считая от вершин, из которых они проведены. OP – медиана треугольника АОВ, поэтому SAOP=SBOP=S1. Следовательно, все шесть треугольников равновелики.


×

HTML:





Ссылка: