Дифференциальные уравнения


Презентация изнутри:

Слайд 0

Дифференциальные уравнения Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка


Слайд 1

Дифференциальные уравнения Определение 1. Линейное дифференциальное уравнение n-го порядка имеет вид где


Слайд 2

Дифференциальные уравнения Определение 1. Линейное дифференциальное уравнение n-го порядка имеет вид где Определение 2. Линейное дифференциальное уравнение называется однородным, если и называется неоднородным, если


Слайд 3

Дифференциальные уравнения Определение 3. Линейным дифференциальным оператором n-го порядка называется выражение: ЛОДУ: ЛНДУ:


Слайд 4

Дифференциальные уравнения Определение 4. Общим решением ЛДУ n-го порядка называется функция , зависящая от х и n произвольных постоянных, если любое решение может быть получено из нее при некоторых конкретных значениях постоянных. Решение, полученное из общего решения при конкретных значениях постоянных, называется частным решением.


Слайд 5

Дифференциальные уравнения Задача Коши. Найти решение ЛДУ n-го порядка удовлетворяющее начальным условиям Теорема ( !). Пусть в интервале коэффициенты и правая часть ЛДУ n-го порядка – непрерывные функции. Тогда при любом найдется некоторая окрестность такая, что в этой окрестности существует единственное решение задачи Коши.


Слайд 6

Дифференциальные уравнения Линейно зависимые и линейно независимые системы функций. Определение 1. Система функций называется линейно зависимой в интервале если найдутся такие коэффициенты что среди них есть хотя бы один, отличный от нуля, а линейная комбинация функций тождественно равна нулю в интервале


Слайд 7

Дифференциальные уравнения Линейно зависимые и линейно независимые системы функций. Частный случай. Система двух функций будет линейно зависимой в интервале тогда и только тогда, когда их отношение Доказательство. Необходимость. - линейно зависимы Достаточность.


Слайд 8

Дифференциальные уравнения Линейно зависимые и линейно независимые системы функций. Определение 2. Система функций называется линейно независимой в интервале если линейная комбинация этих функций тождественно равна нулю при всех лишь в том случае, когда все коэффициенты равны нулю.


Слайд 9

Дифференциальные уравнения Примеры. 1. Система функций линейно независимая в любом интервале Рассмотрим линейную комбинацию этих функций и предположим, что она тождественно равна нулю: Тогда и производные от нее должны равняться нулю: Отсюда следует:


Слайд 10

Дифференциальные уравнения Примеры. 2. Система функций линейно независимая в любом интервале : В общем случае система функций линейно независимая при всех х .


Слайд 11

Дифференциальные уравнения Примеры. 3. Система функций линейно зависимая в любом интервале : Положим и составим линейную комбинацию функций с этими коэффициентами


Слайд 12

Дифференциальные уравнения Определитель Вронского. Пусть функции имеют в интервале непрерывные производные до порядка k-1 включительно. Определение. Определителем Вронского системы функций называется определитель


Слайд 13

Дифференциальные уравнения Определитель Вронского. Теорема (необходимое условие линейной зависимости). Пусть система функций линейно зависима в . Тогда при всех Доказательство ( при к=2). 1. 2.


×

HTML:





Ссылка: