Комплексные числа


Презентация изнутри:

Слайд 0

Комплексные числа Основные понятия Геометрическое изображение комплексных чисел Тригонометрическая форма записи комплексных чисел Действия над комплексными числами Показательная форма комплексного числа


Слайд 1

Основные понятия Комплексным числом z называют выражение: где а и b – действительные числа, i – мнимая единица, определяемая равенством: а называется действительной частью числа z, b – мнимой частью. Их обозначают так: Если а = 0, то число i b называется чисто мнимым. Если b = 0, то получается действительное число а. Два комплексных числа, отличающиеся только знаком мнимой части, называются сопряженными:


Слайд 2

Геометрическое изображение комплексных чисел Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называют плоскостью комплексной переменной. A(a; b) a b Точкам, лежащим на оси OX, соответствуют действительные числа (b = 0), поэтому ось OX называют действительной осью. Точкам, лежащим на оси OY , соответствуют чисто мнимые числа (a = 0), поэтому ось OY называют мнимой осью.


Слайд 3

Тригонометрическая форма записи комплексных чисел Тогда имеют место равенства: Следовательно, комплексное число z можно представить в виде: ? Тригонометрическая форма записи комплексного числа Аргумент комплексного числа z считается положительным, если он отсчитывается от положительного направления оси OX против часовой стрелки. Очевидно, что ? определяется не однозначно, а с точностью до слагаемого r


Слайд 4

Действия над комплексными числами Равенство комплексных чисел. 1 2 Сложение и вычитание комплексных чисел.


Слайд 5

Действия над комплексными числами 3 Умножение комплексных чисел. Сложение и вычитание комплексных чисел, изображенных векторами производится по правилу сложения или вычитания векторов: z1 z2 z1 + z2 z1 - z2 При любом целом k:


Слайд 6

Действия над комплексными числами На основании этого правила получим: тогда произведение находится по формуле: Если комплексные числа заданы в тригонометрической форме: Произведение сопряженных комплексных чисел:


Слайд 7

Действия над комплексными числами 4 Деление комплексных чисел. Если комплексные числа заданы в тригонометрической форме:


Слайд 8

Действия над комплексными числами Найти произведение и частное комплексных чисел:


Слайд 9

Действия над комплексными числами 5 Возведение в степень комплексного числа. 6 Извлечение корня из комплексного числа.


Слайд 10

Действия над комплексными числами Придавая k значения 0, 1, 2, …,n –1, получим n различных значений корня. Для других значений k аргументы будут отличаться от полученных на число, кратное 2?, и , следовательно будут получаться значения корня, совпадающие с рассмотренными. Итак, корень n – ой степени из комплексного числа имеет n различных значений. Корень n – ой степени из действительного числа также имеет n значений, так как действительное число – частный случай комплексного числа и может быть представлено в тригонометрической форме:


Слайд 11

Действия над комплексными числами Найти все значения кубического корня из единицы A В С


Слайд 12

Показательная форма комплексного числа Рассмотрим показательную функцию от комплексной переменной z. Комплексные значения функции w определяются по формуле: Пример: (1)


Слайд 13

Показательная форма комплексного числа Если в формуле (1) положим x = 0, то получим: Эта формула называется формулой Эйлера, выражающая показательную функцию с мнимым показателем через тригонометрические функции. (2) Заменим в формуле (2) y на – y: (3) Складывая и вычитая равенства (2) и (3) получим :


Слайд 14

Показательная форма комплексного числа Представим комплексное число z в тригонометрической форме:: По формуле Эйлера: Следовательно, всякое комплексное число можно представить в показательной форме: Действия над комплексными числами в показательной форме: Пусть имеем: Тогда:


×

HTML:





Ссылка: