Расписание консультаций


Презентация изнутри:

Слайд 0

Расписание консультаций 1


Слайд 1

Колебания и волны Лекция 4 ВоГТУ Кузина Л.А., к.ф.-м.н., доцент 2012 г. 2


Слайд 2

План Колебательные процессы. Гармонические колебания. Понятие о спектральном разложении. Дифференциальное уравнение гармонических колебаний. Пружинный, физический и математический маятники. Энергия гармонического осциллятора. Сложение колебаний. 5а. Сложение колебаний одинаковой частоты, происходящих вдоль одной прямой. 5b. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний одинаковой частоты. 5с. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний кратных частот. Фигуры Лиссажу. Затухающие колебания. Вынужденные колебания. Упругие волны. Основные понятия. Дифференциальное уравнение волны. Стоячие волны. Скорость упругих волн. Энергия волны. Групповая скорость. Вектор плотности потока энергии (вектор Умова). Интенсивность волны. Элементы акустики. Эффект Доплера для звуковых волн. 3


Слайд 3

Колебательные процессы. Гармонические колебания Любой процесс, повторяющийся во времени, является колебательным Колеблющаяся величина изменяется по гармоническому закону (sin, cos) 4


Слайд 4

5


Слайд 5

1) по методу векторных диаграмм : 2) как комплексное число: Представление гармонических колебаний: 6


Слайд 6

7


Слайд 7

Понятие о спектральном разложении. Ряд Фурье 8


Слайд 8

9


Слайд 9

10


Слайд 10

11


Слайд 11

Дифференциальное уравнение гармонических колебаний 12


Слайд 12

13


Слайд 13

Колебательные системы: 1) пружинный маятник 14


Слайд 14

15


Слайд 15

Колебательные системы: 2) Физический маятник Физический маятник – твёрдое тело, способное колебаться в поле силы тяжести относительно оси, не проходящей через центр масс – плечо силы тяжести; l – длина физического маятника (расстояние от точки подвеса до центра масс) Величина момента силы тяжести: Для малых углов в проекциях на ось вращения: По закону динамики вращательного движения и по определению углового ускорения 16


Слайд 16

17


Слайд 17

Колебательные системы: 3) Математический маятник Математический маятник - материальная точка (тело, размерами которого можно пренебречь), подвешенная на нерастяжимой невесомой нити Математический маятник - частный случай физического Приведённая длина физического маятника – это длина такого математического маятника, который имеет тот же период колебаний: По теореме Штейнера: 18


Слайд 18

19


Слайд 19

Энергия гармонического осциллятора Полная энергия: Максимальные значения: Средние значения: Полная энергия сохраняется; переходит из кинетической в потенциальную и обратно 20


Слайд 20

21


Слайд 21

Сложение колебаний одинаковой частоты, происходящих вдоль одной прямой (по методу векторных диаграмм) Точка одновременно участвует в двух колебаниях одинаковой частоты: Результирующее колебание имеет ту же частоту: Задача – определить амплитуду и начальную фазу результирующего колебания 22


Слайд 22

23


Слайд 23

Метод векторных диаграмм По теореме косинусов: 24


Слайд 24

25


Слайд 25

Сложение взаимно перпендикулярных колебаний одинаковой частоты 26


Слайд 26

27


Слайд 27

Сложение взаимно перпендикулярных колебаний одинаковой частоты В общем случае это уравнение эллипса: 28


Слайд 28

29


Слайд 29

Сложение взаимно перпендикулярных колебаний одинаковой частоты: частные случаи 1) 2) 3) 30


Слайд 30

31


Слайд 31

Сложение взаимно перпендикулярных колебаний кратных частот (частные случаи). Фигуры Лиссажу Условие замкнутости фигуры: Метод фигур Лиссажу применяется для точного определения частоты 32


Слайд 32

33


Слайд 33

Затухающие колебания По второму закону Ньютона: - квазиупругая (возвращающая) На тело действуют силы: Дифференциальное уравнение затухающих колебаний, где приняты обозначения: - сопротивления среды Здесь ? – коэффициент затухания; – циклическая частота собственных колебаний, то есть колебаний системы в отсутствие сил сопротивления 34


Слайд 34

35


Слайд 35

Затухающие колебания Если затухание велико (? > ?0), движение системы не имеет колебательного характера и будет апериодическим Решение этого дифференциального уравнения затухающих колебаний при условии малости затухания (при ? < ?0): 36


Слайд 36

37


Слайд 37

Затухающие колебания: Док-во: – амплитуда уменьшается по экспоненте – частота затухающих меньше частоты собственных – дифф.ур-е – решение дифф. уравнения T Логарифмический декремент затухания: ? – натуральный логарифм отношения амплитуд двух следующих друг за другом колебаний, то есть амплитуд колебаний в моменты времени t и (t+T) 38


Слайд 38

39


Слайд 39

Затухающие колебания: величины, характеризующие затухание Добротность обратно пропорциональна относительной убыли энергии колебаний за время, равное одному периоду: При условии малости затухания : 1) Логарифмический декремент затухания: 2) Время релаксации: За время релаксации амплитуда уменьшается в е раз: Число колебаний за время релаксации: 3) Добротность: Добротность пропорциональна числу колебаний за время релаксации: 40


Слайд 40

41


Слайд 41

Вынужденные колебания Решение уравнения: По второму закону Ньютона: Чтобы при наличии сил сопротивления колебания не затухали, колебательную систему нужно подпитывать энергией, - например, с помощью вынуждающей периодической силы: Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний, где приняты обозначения: Амплитуда зависит от частоты: Начальная фаза: 42


Слайд 42

43


Слайд 43

Вынужденные колебания. Резонанс График зависимости амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к частоте собственных колебаний системы (резонансной частоте) называется резонансом 44


Слайд 44

45


Слайд 45

По этим ссылкам можно посмотреть видео http://www.youtube.com/watch?v=093CzGsstv0 – свободные и вынужденные колебания, резонанс http://www.youtube.com/watch?v=BAyt7KVtG58 – вынужденные колебания, резонанс http://youtu.be/rdWWvjH8cPM - фигуры Лиссажу 46


Слайд 46

Упругие волны. Основные понятия Волна – это процесс распространения колебаний, периодический во времени и пространстве В продольной волне колебания происходят параллельно направлению распространения волны – происходит деформация сжатия-растяжения (такие волны возможны в газах, жидкостях и твёрдых телах) В поперечной волне колебания происходят перпендикулярно направлению распространения – происходит деформация сдвига (только в твёрдых телах) 47


Слайд 47

Упругие волны. Основные понятия совокупность точек, до которых дошла волна в данный момент времени (сферический, плоский) направление распространения волны. В изотропной среде луч перпендикулярен волновому фронту Волновой фронт – Луч – любая точка волнового фронта является точечным источником вторичных сферических волн (объясняет процесс распространения волн) Принцип Гюйгенса: 48


Слайд 48

Упругие волны. Уравнение плоской волны При распространении упругих волн в среде любая частица колеблется около своего положения равновесия. Переноса частиц среды не происходит. Волной переносится энергия. Все частицы колеблются с одинаковой частотой, определяемой частотой источника Колебания любой новой частицы, захваченной волновым процессом, отстают по фазе от колебаний предыдущей частицы Скорость перемещения фиксированной фазы называется фазовой скоростью 49


Слайд 49

Упругие волны. Уравнение плоской волны Замена даёт уравнение колебаний в точке x: В произвольной точке x колебания запаздывают по фазе Уравнение колебаний источника в точке x=0: – время запаздывания (за это время волна дойдёт до точки x) Волновой вектор (волновое число) Длина волны: Функция двух переменных: x и t 50


Слайд 50

51


Слайд 51

Волны: длина волны; волновой вектор; фазовая скорость Волновой вектор (волновое число) характеризует быстроту изменения фазы в пространстве Длина волны – расстояние, на которое распространяется волна за время, равное периоду: Длина волны – минимальное расстояние между точками, которые колеблются в одной фазе Круговая частота характеризует быстроту изменения фазы с течением времени Скорость перемещения фиксированной фазы (фазовая скорость): 52


Слайд 52

53


Слайд 53

Волны. Дифференциальное уравнение волны Возможные решения уравнения: Это – дифференциальное уравнение волны, распространяющейся вдоль оси OX – дифференциальное уравнение волны для более общего случая; здесь – оператор Лапласа: Сферическая волна Общий случай плоской волны Плоская волна бежит в отрицательном направлении оси OX Плоская волна бежит в положительном направлении оси OX 54


Слайд 54

55


Слайд 55

Стоячие волны потеря пол-длины волны при отражении Результирующая стоячая волна: Амплитуда стоячей волны: Узлы стоячей волны: 56


Слайд 56

57


Слайд 57

Стоячие волны Узлы стоячей волны расположены на расстоянии, кратном длине стоячей волны, от закреплённого конца стержня: Узлы Пучности 58


Слайд 58

59


Слайд 59

Скорость упругих волн скорость распространения волн по натянутой струне скорость распространения упругих продольных волн скорость распространения упругих поперечных волн скорость звука в газе ? – плотность, F – сила натяжения струны, S – её сечение ? – плотность, E – модуль Юнга, G – модуль сдвига R –универсальная газовая постоянная, T – температура, ? – молярная масса, ? – показатель Пуассона (показатель адиабаты, константа для данного газа, например, для воздуха ?=1.4) 60


Слайд 60

61


Слайд 61

Энергия волны Энергия упругой волны складывается из кинетической энергии колеблющихся частиц среды и потенциальной энергии упругой деформации: Определяется скоростью колеблющихся частиц: Для объёмной плотности энергии : Определяется модулем Юнга и относительной деформацией: Без доказательства 62


Слайд 62

63


Слайд 63

Энергия волны. Групповая скорость Точки с максимальным значением объёмной плотности энергии перемещаются в пространстве со скоростью (групповая скорость). Групповая скорость – скорость переноса энергии Групповая скорость – скорость перемещения точки а с максимальной плотностью энергии (максимальной амплитудой) 64


Слайд 64

65


Слайд 65

Энергия волны. Групповая скорость Групповая скорость – скорость переноса энергии – для монохроматической волны – если фазовая скорость волны зависит от частоты: или Без доказательства: Возможны оба случая Для электромагнитных волн возможно - скорости света в вакууме, поскольку фазовая скорость не связана с переносом энергии (или информации). Всегда - нельзя передавать энергию или информацию быстрее скорости света в вакууме. 66


Слайд 66

67


Слайд 67

Вектор плотности потока энергии (вектор Умова). Интенсивность волны Вектор плотности потока энергии численно равен энергии, перенесённой волной за единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную лучу – интенсивность волны (среднее значение плотности потока энергии) групповая скорость 68


Слайд 68

69


Слайд 69

Элементы акустики: характеристики звуковых волн – интенсивность волны Диапазон частот слышимого звука Инфразвук Ультразвук (Бел) уровень интенсивности (объективная характеристика) (дБ, децибел) Здесь – порог слышимости на частоте 1000 Гц Громкость – субъективная характеристика, учитывающая среднюю чувствительность человеческого уха к звукам разной частоты, выраженный в фонах (фон), на частоте 1000 Гц совпадает с уровнем интенсивности, выраженным в децибелах уровень громкости (громкость) Шкалы громкости и уровня интенсивности совпадают только при ?=1000 Гц. Для других частот надо пользоваться кривыми равной громкости: 70


Слайд 70

71


Слайд 71

Элементы акустики: кривые равной громкости Громкость = уровню интенсивности только при ?=1000 Гц. Для других частот надо пользоваться кривыми равной громкости: 72


Слайд 72

Элементы акустики: характеристики звуковых волн Волновое сопротивление Избыточное звуковое давление Уровень избыточного звукового давления От соотношения между волновыми сопротивлениями двух сред зависят коэффициент отражения r и коэффициент проникновения ? на границе раздела Из закона сохранения энергии 73


Слайд 73

74


Слайд 74

Эффект Доплера для звуковых волн Эффект Доплера – изменение наблюдаемой частоты волны при относительном движении источника и/или наблюдателя. (Рассматривается случай, когда скорости источника и наблюдателя меньше скорости звука в данной среде: , ) А) Пусть наблюдатель движется к источнику: Период колебаний, который воспринимает наблюдатель, – это время между прохождением мимо наблюдателя двух последовательных гребней волны: 75


Слайд 75

76


Слайд 76

Эффект Доплера для звуковых волн Эффект Доплера – изменение наблюдаемой частоты волны при относительном движении источника и/или наблюдателя. Наблюдатель движется от источника: А) Наблюдатель движется к источнику: 77


Слайд 77

78


Слайд 78

Эффект Доплера для звуковых волн Волны «нагоняют» друг друга за один период на расстояние Б) Источник движется к наблюдателю : Источник движется от наблюдателя : 79


Слайд 79

80


Слайд 80

Эффект Доплера для звуковых волн Объединяем все четыре возможности: Верхние знаки относятся к случаю сближения источника и наблюдателя; нижние – удаления Движется источник Движется наблюдатель 81


Слайд 81

82


×

HTML:





Ссылка: