'

Анализ процессов в электромеханических системах классическим методом

Понравилась презентация – покажи это...





Слайд 0

Анализ процессов в электромеханических системах классическим методом


Слайд 1

Три метода Решение систем дифференциальных уравнений и соответственно анализ процессов в электромеханических системах осуществляют с использованием трех методов: Классический метод; Операторный метод; Метод переменных состояний.


Слайд 2

Решения системы дифференциальных уравнений на примере RLC-цепи Схема RLC-цепи при подключении к источнику постоянного напряжения имеет следующий вид:


Слайд 3

Составим Систему Дифференциальных Уравнений, описывающую процессы в данной цепи.


Слайд 4

Представим СДУ в нормальной форме Коши:


Слайд 5

Запишем СДУ в матричной форме:


Слайд 6

где - матрица коэффициентов перед переменными состояния цепи


Слайд 7

- вектор свободных членов СДУ; - Вектор переменных состояний


Слайд 8

Определение корней СДУ Запишем однородную СДУ в виде:


Слайд 9

Составим характеристическое уравнение введем обозначения


Слайд 10

Тогда характеристическое уравнение можно записать в виде: Решение этого уравнения имеет следующий вид


Слайд 11

Предположим, что корни характеристического уравнения действительные и разные: Отметим, что для устойчивости динамической системы необходимо, чтобы действительные части корней характеристического уравнения были отрицательными.


Слайд 12

Найдем собственные вектора для каждого собственного значения матрицы A. Для значения ?1 = ?a алгебраическая система уравнений будет выглядеть следующим образом:


Слайд 13

или Примем значение h1?1=1 и определим h2 ?1 из второго уравнения системы:


Слайд 14

Собственный вектор для первого собственного значения матри- цыA: Аналогично будет находиться собственный вектор и для второго собственного значения матрицы A:


Слайд 15

Общее решение однородной СДУ x0 (t) запишется в виде: или


Слайд 16

Можно записать отдельно выражения для каждой неизвестной временной функции: И


Слайд 17

Предположим, что корни характеристического уравнения ком- плексно сопряженные: В этом случае собственный вектор ищется только для одного из этих значений. Найдем собственный вектор для ?1 = ?? + j? :


Слайд 18

Принимаем h1?1 =1 и находим h2?1 из второго уравнения системы:


Слайд 19

Общее решение однородной СДУ в этом случае запишется в виде:


Слайд 20

Запишем каждую компоненту общего решения отдельно:


Слайд 21

Найдем составляющие общего решения однородной СДУ. По формуле Эйлера для комплексных чисел:


Слайд 22

тогда Для разделения вещественной и мнимой частей второй составляющей h2?1 собственного вектора домножим числитель и знаменатель h2?1 на число, комплексно сопряженное знаменателю h2 ?1 :


Слайд 23

Учитывая формулу умножения комплексно сопряженных чисел друг на друга, запишем:


Слайд 24


Слайд 25

Общее решение однородной СДУ:


Слайд 26

Вывод Сравнивая результаты общего решения однородной СДУ при действительных и комплексно сопряженных корнях, можно отметить, что в первом случае переходные процессы в ЭМС имеют апериодический характер, а во втором случае – затухающий колебательный.


Слайд 27

Частное решение СДУ Найдем частное решение неоднородной СДУ при подстановке в исходную СДУ значения t = ? :


Слайд 28

Найдем решение этой СЛАУ методом Крамера.


Слайд 29

Тогда получим Полученное частное решение неоднородной СДУ легко объясняется физически – конденсатор заряжается до напряжения источника питания E, а ток в цепи после окончания переходного процесса становится равным нулю, так как при работе на постоянном токе конденсатор представляет собой разрыв цепи.


Слайд 30

Этапа определения постоянных интегрирования Нахождение постоянных интегрирования осуществляют путем подстановки в общее решение неоднородной СДУ значения t = 0 и последующего решения получившейся СЛАУ. Решим задачу Коши для обоих случаев собственных значений матрицы A – действительных и комплексно сопряженных


Слайд 31

Действительные отрица- тельные корни Найдем постоянные интегрирования при действительных отрицательных собственных значениях матрицы A: ?1 = ?a, ?2 = ?b . Общее решение неоднородной СДУ в этом случае имеет вид


Слайд 32


Слайд 33

При t = 0 и нулевых начальных условиях, то есть i (0) = 0, UC (0) =0 . Запишем получившуюся СЛАУ:


Слайд 34

Перенесем свободные члены: Решим эту СЛАУ методом Крамера:


Слайд 35


Слайд 36

тогда Запишем компоненты общего решения неоднородной СДУ: - для тока


Слайд 37

для напряжения на емкости


Слайд 38

Комплексные сопряженные корни Определим постоянные интегрирования при комплексно сопряженных корнях характеристического уравнения: ?1,2 = ?? ± j?. Общее решение неоднородной СДУ имеет в этом случае следующий вид:


Слайд 39

Общее решение неоднородной СДУ


Слайд 40

При t = 0 и нулевых начальных условиях, то есть i (0) = 0, UC (0) =0 . Запишем получившуюся СЛАУ Перенесем свободные члены, а также учтем, что h1?1 = 1 и Re(h1? 1 ) = 1 , Jm(h1?1 ) = 0, тогда получим систему линейных дифференциальных уравнений в виде:


Слайд 41

Решим эту СЛАУ методом Крамера:


Слайд 42

Тогда


Слайд 43

Запишем компоненты общего решения СДУ:


×

HTML:





Ссылка: