'

Метод Замены множителей Куфтерин павел, радченко сергей, шахтарин никита 11 класс Моу Лицей № 60

Понравилась презентация – покажи это...





Слайд 0

Метод Замены множителей Куфтерин павел, радченко сергей, шахтарин никита 11 класс Моу Лицей № 60 Руководитель: учитель математики Ускова Н.Н. МОУ лицей №60 2011 г.


Слайд 1

Теоретическая часть


Слайд 2

Основная идея метода Любое неравенство приводимо к виду где символ «?» обозначает один из четырех возможных знаков неравенства: ?, ?, ?, ?. (1)


Слайд 3

Монотонность – ключ к замене Утверждение 1. Функция есть строго возрастающая тогда и только тогда, когда для любых двух значений из области определения функции разность совпадает по знаку с разностью , то есть Утверждение 2. Функция есть строго убывающая тогда и только тогда, когда для любых двух значений из области определения функции разность совпадает по знаку с разностью , то есть Комментарий. Практически, только замена знакопостоянных множителей не вытекает из этих утверждений. Поэтому, если нет желания трогать знак неравенства, всюду положительные множители просто убираем, а всюду отрицательные заменяем на (-1). Популярный знакопостоянный множитель – квадратный трехчлен с отрицательным дискриминантом – заменяем на старший коэффициент (или на свободный член), то есть (2)


Слайд 4

Функция и вызываемые ею замены Поскольку функция при является строго возрастающей на множестве неотрицательных чисел (а при нечетном натуральном n – на всей числовой оси), то в силу утверждения 1 справедливы замены: Функции и , рассматриваемые на множестве неотрицательных чисел, являются взаимнообратными и строго возрастающими, то есть Поэтому Так как и для любого m, то получаем, что (3) (4) (7) (6) (5)


Слайд 5

Пример 1. Решить неравенство Решение (подробное). Исходное уравнение имеет вид Все множители u1, u2, v1 и v2 имеют вид поэтому, в силу (5), эти множители можно заменить на знакосовпадающие с ними множители вида : (8) Так как и , то с учетом неотрицательности подкоренного выражения получаем:


Слайд 6

где знакопостоянные (D<0) квадратные трехчлены и согласно (2) заменяем на (-1) и 1 соответственно, остальные упрощения очевидны


Слайд 7

Ответ:


Слайд 8

Две любопытные замены: (9) (10) Замена (9) очень удобна там, где приходится отслеживать область допустимых значений. Замена (10) суммы при возможном одновременном равенстве нулю подкоренных выражений на сумму позволяет учитывать эту возможность.


Слайд 9

Пример 2. Решить неравенство Решение. Ответ:


Слайд 10

Пример 3. Решить неравенство Решение. В этом неравенстве уже нельзя множители и рассматривать как разности неотрицательных величин, так как выражения 3x и 2x в области допустимых значений (то есть при ) могут принимать как положительные, так и отрицательные значения. Однако, если область допустимых значений исходного неравенства разбить на два промежутка и (точка x=0 есть точка смены знака выражений 3x и 2x), то легко заметить, что на промежутке мы имеем произведение двух положительных чисел, и поэтому исходное неравенство ложно, а на втором промежутке каждый множитель есть разность двух неотрицательных чисел, а следовательно, можно воспользоваться методом замены множителей. Итак, имеем


Слайд 11

так как при x>0 (x+1) и (3x+14) – положительные числа Ответ.


Слайд 12

Показательная и логарифмическая функция и вызываемые ею замены Показательная функция , как известно, строго убывает при и строго возрастает при . Поэтому, в частности для получаем Для произвольного основания a, пользуясь основным логарифмическим тождеством, можно увидеть, что Откуда (11)


Слайд 13

Функция - строго возрастающая. Поэтому Если x1=a и x2=1, то получаем, что (12) Откуда соотношение (11) принимает вид (13) Таким образом, мы установили, что разность степеней с одним и тем же основанием всегда по знаку совпадает с произведением разности показателей этих степеней на разность основания и единицы.


Слайд 14

Для логарифмической функции аналогично устанавливаем Отсюда следует, что То есть разность логарифмов по одному и тому же основанию всегда по знаку совпадает с отношением разности подлогарифмических выражений к разности основания и единицы: (14)


Слайд 15

Замечание. Утверждения (14) и (13) равносильны, поскольку показательная и логарифмическая функции взаимнообратны. Эти утверждения также позволяют исключительно эффективно решать очень многие неравенства, которые принято относить к разряду задач повышенной сложности. В частности из (13) и (14) следуют полезные схемы решения основных показательных логарифмических неравенств: 1) 2)


Слайд 16

3) 4)


Слайд 17

6) 5)


Слайд 18

Практическая часть Решение неравенств


Слайд 19

Пример 1. Решение.


Слайд 20

Пример 2. Решение.


Слайд 21

Пример 3. Решение.


Слайд 22

Пример 4. Решение.


Слайд 23

Пример 5. Решение.


Слайд 24

Пример 6. Решение.


Слайд 25

Пример 7. Решение.


Слайд 26

Пример 8. Решение.


Слайд 27


Слайд 28

Пример 9. Решение.


Слайд 29


Слайд 30

Пример 10. Решение.


Слайд 31


Слайд 32

Пример 11. Решение.


Слайд 33


Слайд 34

Пример 12. Решение.


Слайд 35


Слайд 36

Пример 13. Решение.


Слайд 37


Слайд 38

Пример 14. Решение.


Слайд 39

Пример 15. Решение.


Слайд 40


Слайд 41

Пример 16. Решение.


Слайд 42


Слайд 43


Слайд 44

Пример 17. Решение.


Слайд 45


Слайд 46

Пример 18. Решение.


Слайд 47


Слайд 48

Пример 19. Решение.


Слайд 49

Пример 20. Решение.


Слайд 50


Слайд 51

Итоги


Слайд 52

I. Стандартный вид неравенств, когда применяется метод замены множителей где символ «?» обозначает один из четырех возможных знаков неравенства: ?, ?, ?, ?.


Слайд 53

II. Основная идея метода замены множителей состоит в замене любого множителя в числителе или знаменателе на знакосовпадающий с ним и имеющий одни и те же корни. Замечание. Преобразованное таким образом неравенство всегда равносильно исходному в области существования последнего. Предупреждение. Указанная замена возможна только тогда, когда неравенство приведено к стандартному виду


Слайд 54

III. Две основные замены: если f(t) – строго возрастающая функция; если f(t) – строго убывающая функция.


Слайд 55

IV. Наиболее часто встречающиеся замены (без учета ОДЗ):


Слайд 56


Слайд 57


Слайд 58


Слайд 59

Использованная литература Голубев В. И. Метод замены множителей, М: Архимед. Лекции и задачи. Вып. 4., 2006 г. Голубев В. И., Шарыгин И.Ф. Эффективный путь решения неравенств М. Квантор 1993 г.


×

HTML:





Ссылка: