'

Аффинные преобразования.

Понравилась презентация – покажи это...





Слайд 0

Аффинные преобразования. Проект Унжиной Анастасии. 10 класс.


Слайд 1

Методологический паспорт. Тема: Аффинные преобразования плоскости. Проблема: Изучение понятия аффинных преобразований плоскости, их свойств, особенностей и применения на практике. Актуальность: Углубление знаний по теме позволило с большей легкостью решать планиметрические задачи, задачи на соотношения отрезков. Объект исследования: Аффинные преобразования фигур на плоскости, параллельное проектирование, неподвижные точки аффинных преобразований. Цель: Углубление знаний по теме, решение задач. Задачи: Изучение теоретического материала, исследование свойств различных видов аффинных преобразований, решение задач. Методы исследования: Теоретический и практический.


Слайд 2

Определение аффинных преобразований. Аффинным называется преобразование плоскости, переводящее каждую прямую в прямую и параллельные прямые а параллельные.


Слайд 3

Свойства аффинных преобразований. 1) аффинные преобразования сохраняют линейные отношения между векторами. 2) Аффинные преобразования сохраняют отношения коллинеарных отрезков. В частности, середины отрезков переходят в середины отрезков, а медианы треугольников, соответственно, в медианы образов этих треугольников. 3) При аффинных преобразованиях отрезки переходят в отрезки, треугольники – в треугольники, тетраэдры – в тетраэдры. 4) Композиция аффинных преобразований плоскости является аффинным преобразованием плоскости.


Слайд 4

Теорема о задании аффинных преобразований. Для любых данных треугольников АВС и А’В’С’ существует единственное аффинное преобразование, переводящее А в А’, В в В’, С в С’. Доказательство: На прямой АС отметим все точки, расстояние от которых до точки С кратно длине отрезка АС, и проведем через них прямые, параллельные ВС. Аналогично с ВС, A’C’ и B’C’.


Слайд 5

Докажем, что вершины параллелограммов построенных по треугольнику ABC переходят в вершины параллелограммов, построенных аналогичным образом по треугольнику А’В’С’. Вершина D параллелограмма АСВD перейдет в вершину D’ параллелограмма А’ В’ С’ D’, так как прямые AD и BD, параллельные прямым ВС и АС, перейдут в прямые A’D’ и B’D’, параллельные прямым В’С’ и A’D’.


Слайд 6

Центры всех параллелограммов первой решетки переходят в центры соответствующих параллелограммов второй решетки. Произвольная точка М определяет последовательность вложенных параллелограммов с уменьшающимися сторонами. Этой последовательности соответствует аналогичная, (точка М’). Образ любой точки определяется однозначно.


Слайд 7

Неподвижные точки - основная характеристика аффинного преобразования. Возможны варианты: 1) Нет неподвижных точек. (Параллельный перенос) 2) Одна неподвижная точка. (Центральная симметрия) 3) Если аффинное преобразование имеет две неподвижные точки А и В, то любая точка прямой АВ является неподвижной точкой этого преобразования.


Слайд 8

Возьмем С (С ? АВ), и покажем, что ? (С) = С. ? (А) = А и ? (В) = В, следовательно ? (АВ) = (АВ). Поэтому ? (С) ? (АВ). Далее, согласно свойству аффинных преобразований, (А, В, С) = (? (А), ? (В), ? (С)), т.е. (А, В, С) = (А, В, ? (С)). Отсюда следует, что ? (С) = С.


Слайд 9

Метод аффинных преобразований. Использование преобразований для решения задач.


Слайд 10

Задача №1. Доказать, что середины оснований трапеции, точка пересечения ее диагоналей и точка пересечения ее боковых сторон, лежат на одной прямой.


Слайд 11

Решение. Переведем треугольник AKD в равнобедренный треугольник AK'D (например, сдвигом вдоль прямых параллельных AD). Для равнобедренной трапеции AB'C'D утверждение задачи почти очевидно, а значит, оно справедливо и для исходной трапеции ABCD


Слайд 12

Задача №2. На сторонах AB, BC и CD параллелограмма ABCD взяты точки K, L и M соответственно, делящие эти стороны в одинаковых отношениях. Пусть b, c, d — прямые, проходящие через B, C, D параллельно прямым KL, KM, ML соответственно. Докажите, что прямые b, c, d проходят через одну точку.


Слайд 13

Решение. Переведем параллелограмм ABCD в квадрат со стороной ВС. P точка пересечения прямых b и d. Нам достаточно доказать, что прямая PC параллельна MK. Угол между прямыми CP и b равен 45°, но угол между прямыми MK и KL тоже равен 45°, и b параллельна KL, следовательно, CP параллельна MK. Треугольник KLM стал равнобедренным прямоугольным. Проведем b||KL, d||LM.


Слайд 14

Задача №3. В трапеции ABCD с основаниями AD и BC через точку B проведена прямая, параллельная стороне CD и пересекающая диагональ AC в точке P, а через точку C — прямая, параллельная стороне AB и пересекающая диагональ BD в точке Q. Докажите, что прямая PQ параллельна основаниям трапеции.


Слайд 15

Решение. Рассмотрим аффинное преобразование, переводящее ABCD в равнобедренную. Тогда при симметрии относительно серединного перпендикуляра к AD точка P переходит в точку Q, т. е. прямые PQ и AD параллельны.


Слайд 16

Параллельное проектирование. Пусть М – произвольная точка пространства. Через эту точку проведем прямую ?, параллельную l. Точка Р пересечения прямой ? с плоскостью ? называется параллельной проекцией точка М на плоскость ? в направлении прямой l. Если М – точка плоскости ?, то Р совпадает с М.


Слайд 17

Параллельное проектирование – вид аффинного преобразования. Проекция прямой есть прямая. Все прямые, проектирующие точки данной прямой m’, принадлежат некоторой проектирующей плоскости, которая пересекает плоскость проекции по некоторой прямой m – параллельной проекции прямой m’.


Слайд 18

Задача №4. На диагоналях АС и ВА? боковых граней параллелепипеда АВСDA?B?C?D? выбраны точки M и N, так, что отрезок MN параллелен диагонали параллелепипеда DB?. Найти соотношение MN к DB?.


Слайд 19

Преобразуем параллелепипед в куб с помощью аффинного преобразования. Посмотрим на этот куб вдоль диагонали ВС?, спроектировав нужные нам точки в плоскость DCB?A?. Из теоремы Фалеса следует, что образ отрезка MN будет равен одной трети образа диагонали DB?, т.е. MN : DB? = 1 : 3. Решение.


Слайд 20

В пирамиде АВСD точки M, F и K – середины ребер ВС, AD и CD соответственно. На прямых АМ и CF соответственно взяты точки Р и Q так, что PQ??BK. Найдите соотношение PQ : BK. Задача № 5.


Слайд 21

Решение. В качестве плоскости проектирования выберем основание пирамиды АВС, а в качестве прямой – FC. Образом отрезка FK будет отрезок CK’ = FK = 0.5 AC. Образом отрезка PQ будет отрезок PC. (PC??BK’) Следовательно, искомое соотношение между отрезками PQ и BK равно 2 : 5.


Слайд 22

Выводы: Выполнение исследований позволило доказать, что аффинные преобразования на плоскости и в пространстве помогают решать задачи, актуальные в реальной жизни и на экзамене – на параллельность, соотношения отрезков, построение образов фигур и т.д.


Слайд 23

Библиография: 1)     А.Д. Александров и др. «Геометрия». Академический школьный учебник 11. Москва 2006 2)     Д.В. Беклемишев. «Курс аналитической геометрии и линейной алгебры». Москва 2007 3)     С.П. Фиников. «Аналитическая геометрия. Курс лекций». Москва 2007 4)      И.П. Егоров. «Высшая геометрия». Москва 2007 5)      Ю. В. Садовничий и др. «Аналитическая геометрия. Курс лекция с задачами». Москва 2006 6)     В. Мирошин «Параллельное проектирование в задачах» 7)     Е. В. Потоскуев «Геометрия. 10 класс.» Москва 2004 8)А. Заславский «Геометрические преобразования» Санкт-Петербург 2004


×

HTML:





Ссылка: