'

Решение логических задач на переливания методом бильярда

Понравилась презентация – покажи это...





Слайд 0

Решение логических задач на переливания методом бильярда Автор Батырова Алия ученица 11 класса МОУ-СОШ с. Кировское


Слайд 1

Задачи на переливания можно очень легко решать, вычерчивая бильярдную траекторию шара, отражающегося от бортов стола, имеющего форму параллелограмма, на котором нанесена сетка из одинаковых равносторонних треугольников.


Слайд 2

Имеются два сосуда - трехлитровый и пятилитровый. Нужно, пользуясь этими сосудами, получить 4 литра воды. В нашем распоряжении водопроводный кран и раковина, куда можно выливать воду. Задача


Слайд 3

В рассматриваемой задаче стороны параллелограмма должны иметь длины 3 и 5 единиц. По горизонтали будем откладывать количество воды в литрах в 5-литровом сосуде, а по вертикали – в 3-литровом.


Слайд 4

Бильярдный шар может перемещаться только вдоль прямых, образующих сетку на параллелограмме. После удара о стороны параллелограмма шар отражается и продолжает движение вдоль линии сетки, выходящей из точки борта, где произошло соударение. При этом каждая точка параллелограмма, в которой происходит соударение, полностью характеризует, сколько воды находится в каждом из сосудов.


Слайд 5

3 л 5 л 3 л 5 л 0 0 Пусть шар находится в левом нижнем углу* и после удара начнет перемещаться вверх вдоль левой боковой стороны параллелограмма до тех пор, пока не достигнет верхней стороны*. Координаты точки, в которую ударился шар - (0;3). Это означает, что мы полностью наполнили жидкостью малый сосуд*, а большой остается пока пустым. 3 0 1 0 2 3 4 5 0 1 1 2 1 2 3 4 5 2


Слайд 6

3 л 5 л 3 л 5 л 0 Отразившись упруго, шар покатится вправо вниз и ударится в точку нижнего борта*, координаты которой 3 по горизонтали и 0 по вертикали. Это означает, что в большом сосуде 3 литра воды, а в малом сосуде воды нет, то есть мы перелили воду из малого сосуда в большой сосуд*. 3 0 1 0 2 3 4 5 0 1 1 2 1 2 3 4 5 3 0 2 0


Слайд 7

3 л 5 л 3 л 5 л 0 Отразившись от точки (3;0), шар ударится о верхний борт в точку с координатами 3 по горизонтали и 3 по вертикали*. Это означает, что в обоих сосудах станет по 3 литра жидкости*. 3 0 1 0 2 3 4 5 0 1 1 2 1 2 3 4 5 3 0 3 3 2 0


Слайд 8

3 л 5 л 3 л 5 л 0 Вновь отразившись, шар покатится вправо вниз, в точку, координаты которой 5 по горизонтали и 1 по вертикали*, то есть большой сосуд будет полностью заполнен*, а в малом сосуде останется 1 литр жидкости. 3 0 1 0 2 3 4 5 0 1 1 2 1 2 3 4 5 3 0 3 3 1 2 0 5


Слайд 9

3 л 5 л 3 л 5 л 0 Отразившись от правой боковой стенки параллелограмма, шар ударится в точку с координатами 0 по горизонтали и 1 по вертикали*. Это означает, что пятилитровый сосуд будет опустошен*, а малый сосуд будет по-прежнему содержать 1 литр жидкости. 3 0 1 0 2 3 4 5 0 1 1 2 1 2 3 4 5 3 0 3 3 5 1 0 1 2 0


Слайд 10

3 л 5 л 3 л 5 л 0 Отразившись от левой боковой стены параллелограмма, шар ударится в точку, координаты которой 1 по горизонтали и 0 по вертикали*, то есть жидкость из малого сосуда переливается в большой сосуд*. 3 0 1 0 2 3 4 5 0 1 1 2 1 2 3 4 5 3 0 3 3 5 1 0 1 2 0 1 0


Слайд 11

3 л 5 л 3 л 5 л 0 На следующем шаге, шар ударится в точку с координатами 1 по горизонтали и 3 по вертикали*, значит малый сосуд полностью наполнится жидкостью*, а в большом сосуде пока остается 1 литр. 3 0 1 0 2 3 4 5 0 1 1 2 1 2 3 4 5 3 0 3 3 5 1 0 1 2 0 1 0 0 0 0 1 3


Слайд 12

3 л 5 л 3 л 5 л 0 И, наконец, шар попадает в точку, с координатами 4 по горизонтали и 0 по вертикали*, что соответствует состоянию, когда малый сосуд пуст, а в большом - 4 литра воды*. 3 0 1 0 2 3 4 5 0 1 1 2 1 2 3 4 5 3 0 3 3 5 1 0 1 2 0 1 0 0 0 0 1 3 4 0


Слайд 13

3 л 5 л 3 л 5 л 0 Таким образом, получен ответ и указана последовательность переливаний, позволяющих отмерить 4 литра воды*. Все 8 переливаний изображены схематически в таблице*. 3 0 1 0 2 3 4 5 0 1 1 2 1 2 3 4 5 3 0 3 3 5 1 0 1 2 0 1 0 0 0 0 1 3 4 0


Слайд 14

0 3 л 5 л 3 л 5 л 0 Существует и второй путь, когда воду сначала наливают в пятилитровый сосуд. 5 1 2 3 4 5 0 1 1 2 1 2 3 4 5 2 3 2 0 0 2 5 2 2 0 4 3 4 0 0 Из таблицы видно, что второй путь дает нам более короткое решение.


Слайд 15

Метод бильярда можно применить к любой задаче о переливании жидкости с помощью не более чем трех сосудов. Рассмотрим другую интерпретацию предыдущей задачи.


Слайд 16

Имеются три сосуда - восьмилитровый, полностью наполненный водой, пятилитровый и трехлитровый. Необходимо с помощью двух пустых сосудов емкостью 3 и 5 литров поровну разделить воду в два больших сосуда. Задача


Слайд 17

3 л 5 л 3 л 5 л 0 0 Диаграмма для этой задачи та же, только для фиксирования воды в третьем, восьмилитровом сосуде, дополнительно проводится диагональ параллелограмма*. Она делится наклонными прямыми на 8 частей*. 1 0 2 3 4 5 0 1 1 1 2 3 4 5 2 8 л 8 2 2


Слайд 18

3 л 5 л 3 л 5 л 0 0 Пусть шар находится в левом нижнем углу параллелограмма* и после удара начнет перемещаться вправо, вдоль нижней стороны, до тех пор, пока не достигнет точки, координаты которой 5 по горизонтали и 0 по вертикали*. 1 0 2 3 4 5 0 1 1 1 2 3 4 5 2 8 л 2 8


Слайд 19

3 л 5 л 3 л 5 л 0 0 После отражения шар попадает в точку*, координаты которой 2 по горизонтали, 3 по вертикали и 3 по диагонали. Это означает, что жидкость из пятилитрового сосуда переливается в трехлитровый сосуд*. 0 5 1 0 2 3 4 5 0 1 1 2 1 2 3 4 5 2 8 л 8 3 2 3 3


Слайд 20

3 л 5 л 3 л 5 л 0 0 Отражаясь от верхнего борта, шар попадает в точку* с координатами 2 по горизонтали, 0 по вертикали и 6 по диагонали. Это означает, что жидкость из трехлитрового сосуда переливается в восьмилитровый сосуд*. 0 5 1 0 2 3 4 5 0 1 1 2 1 2 3 4 5 2 8 л 8 3 2 3 3 2 0 6


Слайд 21

3 л 5 л 3 л 5 л 0 0 На следующем шаге шар попадет в точку*, координаты которой 0 по горизонтали, 2 по вертикали и 6 по диагонали. Это означает, что жидкость из пятилитрового сосуда переливается в трехлитровый*. 0 5 1 0 2 3 4 5 0 1 1 2 1 2 3 4 5 2 8 л 8 3 2 3 3 2 0 6 0 2 6


Слайд 22

3 л 5 л 3 л 5 л 0 0 Отразившись от левого борта, шар попадет в точку* с координатами 5 по горизонтали, 2 по вертикали и 1 по диагонали, это означает, что жидкость из восьмилитрового сосуда переливается в пятилитровый*. 0 5 1 0 2 3 4 5 0 1 1 2 1 2 3 4 5 2 8 л 8 3 2 3 3 2 0 6 0 2 6 5 2 1


Слайд 23

3 л 5 л 3 л 5 л 0 0 Отразившись от правого борта, шар попадает в точку*, координаты которой 4 по горизонтали, 3 по вертикали и 1 по диагонали. Это означает, что жидкостью из пятилитрового сосуда наполняется трехлитровый сосуд*. 0 5 1 0 2 3 4 5 0 1 1 2 1 2 3 4 5 2 8 л 8 3 2 3 3 2 0 6 0 2 6 5 2 1 4 3 1


Слайд 24

3 л 5 л 3 л 5 л 0 0 После отражения шар покатится в точку*, координаты которой 4 по горизонтали, 0 по вертикали и 4 по диагонали. Это означает, что жидкость из трехлитрового сосуда переливается в восьмилитровый сосуд*. 0 5 1 0 2 3 4 5 0 1 1 2 1 2 3 4 5 2 8 л 8 3 2 3 3 2 0 6 0 2 6 5 2 1 4 3 1 4 0 4


Слайд 25

3 л 5 л 3 л 5 л 0 0 Таким образом получена последовательность переливаний, приводящих нас к правильному решению*. Все 7 переливаний схематически изображены в таблице*. 0 5 1 0 2 3 4 5 0 1 1 2 1 2 3 4 5 2 8 л 8 3 2 3 3 2 0 6 0 2 6 5 2 1 4 3 1 4 0 4


×

HTML:





Ссылка: