'

Лекция 9. Непрерывные распределения

Понравилась презентация – покажи это...





Слайд 0

17 февраля 2016 г. Лекция 9. Непрерывные распределения 9-1. Функция распределения 9-2. Плотность распределения 9-3. Числовые характеристики 9-4. Равномерное распределение


Слайд 1

Решим прошлое задание на 5 минут Получим одну формулу из другой:


Слайд 2

Две формулы для дисперсии Получим одну формулу из другой:


Слайд 3

Итак … Получили:


Слайд 4

Непрерывная случайная величина Непрерывная случайная величина принимает бесконечное количество значений из определенного интервала числовой прямой. 0 6 месяцев Срок службы лампочки


Слайд 5

Пример. Рост человека Рост, измеряемый в сантиметрах, принимает дискретные значения: 167 см, 182 см. На самом деле, рост - непрерывная величина. Не существует двух людей одного роста. Вероятность того, что рост равен 182 см, равна нулю.


Слайд 6

Парадокс Бросаем точку в интервал от 0 до 1. Вероятность, что непрерывная случайная величина попадет в интервал равна единице, а вероятность попасть в любую точку интервала равна нулю. 0 1 Интервал значений случайной величины


Слайд 7

17 февраля 2016 г. 9-1. Функция распределения Определение Свойства Пример


Слайд 8

Почему нужна функция распределения Свойство непрерывной случайной величины – вероятность принять любое определенное значение равно нулю. Для непрерывной случайной величины важно рассматривать вероятность, что она окажется в интервале:


Слайд 9

Функция распределения Функция распределения есть функция F(x), равная для каждого значения x вероятности того, что случайная величина X примет значение меньше x: Функция распределения называется также интегральной функцией или законом распределения.


Слайд 10

Графический смысл Функция распределения есть функция F(x), равная для каждого значения x вероятности того, что случайная величина X примет значение меньше x: x Событие {X < x}


Слайд 11

Свойства функции распределения Свойство 1. Функция распределения есть неотрицательная функция, заключенная между нулем и единицей: Свойство 2. Функция распределения есть неубывающая функция. Свойство 3. Функция распределения от минус бесконечности равна нулю: Свойство 4. Функция распределения от плюс бесконечности равна единице.


Слайд 12

Свойства функции распределения Свойство 5. Вероятность попадания случайной величины в интервал (a, b) равна приращению функции распределения на этом интервале:


Слайд 13

Графическая интерпретация a b Событие B=(a<X<b) Событие A=(X<a) x Событие A+B=(X<b)


Слайд 14

Пример функции распределения


Слайд 15

График функции распределения


Слайд 16

Задание Построить график функции распределения для дискретной случайной величины: Подсказка. Функция распределения любой дискретной случайной величины имеет вид ступенек.


Слайд 17

17 февраля 2016 г. 9-2. Плотность распределения Определение Свойства Пример


Слайд 18

Плотность распределения Плотность распределения непрерывной случайной величины есть функция f(x), равная производной от функции распределения: Функция плотности называется также плотностью вероятности, дифференциальной функцией или весовой функцией.


Слайд 19

Свойства плотности Свойство 1. Плотность распределения есть неотрицательная функция. Свойство 2. Площадь под графиком плотности распределения равна единице. Свойство 3. Вероятность попадания случайной величины в интервал (a, b) равна определенному интегралу от плотности в пределах от a до b:


Слайд 20

Пример плотности распределения Имеется функция распределения: Найдем плотность распределения:


Слайд 21

График плотности распределения


Слайд 22

Ружье, которое висело на стене… В курсе математического анализа (первый семестр) изучались определенные интегралы. В теории вероятностей они необходимы для описания и изучения непрерывных случайных величин. Формула Ньютона-Лейбница


Слайд 23

17 февраля 2016 г. 9-3. Числовые характеристики Математическое ожидание Дисперсия Стандартное отклонение


Слайд 24

Математическое ожидание Математическое ожидание непрерывной случайной величины вычисляется как несобственный интеграл от произведения переменной x на плотность f(x) в пределах от минус бесконечности до плюс бесконечности:


Слайд 25

Дисперсия Дисперсия непрерывной случайной величины вычисляется как несобственный интеграл от произведения квадрата разности переменной x и математического ожидания на плотность f(x) в пределах от минус бесконечности до плюс бесконечности:


Слайд 26

Математическое ожидание Дискретная случайная величина: Непрерывная случайная величина:


Слайд 27

Дисперсия Дискретная случайная величина: Непрерывная случайная величина:


Слайд 28

Стандартное отклонение Дискретная случайная величина: Непрерывная случайная величина:


Слайд 29

Пять типов задач Непрерывная случайная величина X Функция распределения F(x) Плотность распределения f(x) Вероятность P(a<X<b) Числовые Характеристики M(x), D(x), ? 1 2 3 4 5


Слайд 30

Пример вычисления Найдем математическое ожидание:


Слайд 31

Математическое ожидание на графике


Слайд 32

Пример вычисления Найдем дисперсию и стандартное отклонение:


Слайд 33

17 февраля 2016 г. 9-4. Равномерное распределение Определение Числовые характеристики Пример


Слайд 34

Пример Продолжительность лекции составляет один час двадцать минут (80 минут). Профессор статистики планирует свои лекции так, что их продолжительность равномерно распределена на отрезке времени от 78 до 82 минут. Какова вероятность, что лекция задержится более чем на одну минуту?


Слайд 35

Равномерное распределение Непрерывная случайная величина имеет равномерное распределение, если ее значения равномерно распределены на отрезке.


Слайд 36

Продолжительность лекции


Слайд 37

Плотность равномерного распределения Формула плотности:


Слайд 38

Графическое объяснение Площадь равна 0,25 ·1=0,25 Какова вероятность, что лекция задержится более чем на одну минуту?


Слайд 39

Плотность равномерного распределения Формула в общем виде:


Слайд 40

Функция распределения Формула в общем виде:


Слайд 41

Математическое ожидание Находим по формуле:


Слайд 42

Дисперсия и стандартное отклонение Находим по формуле:


Слайд 43

Задание на 5 минут Приведите пример случайной величины, имеющей распределение Пуассона. Найдите ее математическое ожидание и дисперсию.


×

HTML:





Ссылка: