Численные методы для уравнения Пуассона в цилиндрической системе координат

Слайд 0

Численные методы для уравнения Пуассона в цилиндрической системе координат Руководитель: доктор физ.-мат. наук, доцент, профессор кафедры численных методов и программирования Волков Василий Михайлович БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Следующий слайд Жердецкий Алексей Александрович

Слайд 1

Уравнение Пуассона хорошо описывает физику некоторых процессов, происходящих в организме человека. Последние достижения в изучении проблем электротомографии как альтернативного способа исследования тканей головного мозга сводятся к решению прямой и обратной задач для уравнения Пуассона, описывающего пространственное распределение потенциала. Новые методы электротомографических исследований могут оказаться на несколько порядков экономичнее уже существующих (например, рентгенотомографии) и не требуют применения дорогостоящего оборудования. Актуальность Следующий слайд Предыдущий слайд

Слайд 2

Построение экономичных итерационных методов решения неоднородного уравнения Пуассона в цилиндрической системе координат для прямой задачи электроэнцефалографии. Проверка эффективности построенных методов (скорость сходимости и количество вычислительных затрат) в работе на реальных моделях. Цели и задачи Следующий слайд Предыдущий слайд

Слайд 3

Следующий слайд Предыдущий слайд Объект исследования Объектом исследования является цилиндр со встроенными электродами. Цилиндр заполняется солевым раствором (salt water) с электрической проводимостью 1.3 сименс/метр. В этот цилиндр могут помещаться физические тела с различной проводимостью. На два электрода подается ток и снимаются показания на других электродах. - +

Слайд 4

Следующий слайд Предыдущий слайд Постановка задачи Прямая задача может быть сформулирована следующим образом: по снятым на электродах значениям токов, геометрическим размерам и электрической проводимости исследуемого тела определить распределение потенциала по поверхности цилиндра. Математически задача сводится к решению неоднородного уравнения Пуассона. В цилиндрических координатах оно запишется следующим образом: На границе области задаются краевые условия Дирихле:

Слайд 5

Следующий слайд Предыдущий слайд Дискретизация цилиндрической области Исследуемая цилиндрическая область заменяется на цилиндрическую сетку и задача решения исходного уравнения с заданными краевыми условиями сводится к ее дискретному аналогу.

Слайд 6

Следующий слайд Предыдущий слайд Упорядочение точек цилиндра 5 7 1 8 9 10 6 2 4 3 Упорядочение точек цилиндрической сетки происходит, как показано на рисунке. После заполнения самого нижнего слоя нумерация переносится на второй слой и т. д. вплоть до исчерпания всех слоев.

Слайд 7

Следующий слайд Предыдущий слайд Матрица линейной системы Разреженная матрица, полученная после конечно-разностной аппроксимации исходного уравнения Пуассона и естественного упорядочения неизвестных. Аппроксимация имеет второй порядок точности.

Слайд 8

Решение линейной системы Система линейных алгебраических уравнений с разреженной матрицей решается методом бисопряженных градиентов. Для увеличения скорости сходимости строятся переобуславливатели Якоби и Фурье. Далее на работе модельной задачи сравниваются результаты с применением этих переобуславливателей . Изначально предполагается, что решение системы методом бисопряженных градиентов с переобуславливателем Фурье требует меньшего числа итераций в сравнении работы этого же метода с переобуславливателем Якоби. Следующий слайд Предыдущий слайд

Слайд 9

Основные результаты Следующий слайд Предыдущий слайд Решение линейной системы для модельной задачи на сетке с помощью встроенной в Matlab 8.0 функции bicg с переобуславливателем Фурье требует 34 итерации для точности . Задача тестировалась и для других сеток. Число итераций практически не зависит от размерности сетки, что дает основание на то, что тестируемый солвер достаточно эффективен для сеток с большим числом узлов.

Слайд 10

Основные результаты Контурный график величин потенциалов для цилиндрического слоя с одной подключенной парой электродов. Следующий слайд Предыдущий слайд

Слайд 11

Основные результаты Следующий слайд Предыдущий слайд Контурный график величин потенциалов для цилиндрического слоя с другой подключенной парой электродов.

Слайд 12

Построение новых быстрых итерационных методов решения неоднородного уравнения Пуассона, как-то метод бисопряженных градиентов с переобуславливателем Фурье, может иметь прикладное применение в медицине, в частности поможет решать обратную задачу электроэнцефалографии, состоящую из многократного решения прямой задачи. Научная новизна Следующий слайд Предыдущий слайд

Слайд 13

Неоднородное уравнение Пуассона в цилиндрической системе координат. Матрицы линейных систем для прямой модельной задачи. Метод бисопряженных градиентов с переобуславливателем Фурье для решения прямой модельной задачи. Эффективность исследуемого метода. Основные положения, выносимые на защиту Следующий слайд Предыдущий слайд

Слайд 14

Спасибо за внимание! Завершить показ Начать заново