'

Теорема Виета

Понравилась презентация – покажи это...





Слайд 0

Теорема Виета


Слайд 1

ВИЕТ Франсуа (1540-1603), французский математик. Разработал почти всю элементар-ную алгебру. Известны «формулы Виета», дающие зависимость между корнями и коэф-фициентами алгебра-ического уравнения. Ввел буквенные обо-значения для коэффи-циентов в уравнениях.


Слайд 2

С помощью введённого им буквенного исчисления Франсуа Виет не только записал в об-щем виде формулы для корней квадратного уравнения, но и нашёл выражение для коэффи-циентов уравнения через его корни, которое сейчас называ-ется теоремой Виета:


Слайд 3

Теорема Виета: Если х1 и х2 — корни квадратного уравнения х2 +px + q = 0, то х1 + х2 = -p, а х1 . х2 = q.


Слайд 4

Буквенное исчисление позволяет доказывать теоремы с помощью алгебраических преобразований. Мы знаем, что при D ? 0 корни квадратного уравнения находятся по формуле:


Слайд 5

Теперь достаточно аккуратно выполнить алгебраические преобразования — и теорема Виета будет доказана:


Слайд 6

Обратим внимание ещё на одно интересное соотношение — дискриминант уравнения равен квадрату разности его корней: D = (х1 — х2)2


Слайд 7

Из теоремы Виета вытекает, что приведённый квадратный трёхчлен с корнями х1 и х2 можно записать в виде (х — х1)(х — х2). Действительно, раскрывая скобки в этом произведении, получаем выражение х 2— (х1 + х2) х + х1х2 = х2 + рх + q.


Слайд 8

И наоборот, это разложение на множители можно использовать для доказательства теоремы Виета без вычислений. В самом деле,пусть дан квадратный трёхчлен х2 + рх + q, а х1 и х2 - его корни. Замечаем, что (х — х1)(х — х2) = х 2— (х1 + х2) х + х1х2 есть приведённый квадратный трёхчлен с теми же корнями х1 и х2 ,что и данный.


Слайд 9

Разность двух трёхчленов равна (p + х1 + х2) х + (q — х1х2). Это линейная функция относительно x. Причём поскольку оба многочлена обращаются в нуль в точках х1 и х2 ,то и их разность обращается в нуль в тех же точках.


Слайд 10

Для линейной функции это возможно только в том случае, если она тождественно равна нулю. Отсюда вытекает, что p = - ( х1 + х2), а q = х1 . х2 (теорема Виета).


Слайд 11

ЭКЗАМЕНАЦИОННАЯ ЗАДАЧА Эту задачу предлагали решить поступающим в Московский университет на физический факультет. Уравнение аx2 + bx + 2 = 0, где а < 0, имеет одним из своих корней число 3. Решите уравнение ах4 + bх2 + 2 = 0. Решение. Применим теорему Виета к первому уравнению: x1 x2 = Так как x1 = 3, то x2 = , следовательно, x2 < 0. Обозначим x2 = t, тогда второе уравнение примет вид аt2 + bt + 2 = 0.


Слайд 12

Сравнив это уравнение с исходным, получим t 1 =3; t2 = , t2<О. Учитывая, что x2 = t, значение t2 отбрасываем, а из равенства t1 = 3 находим х2 = 3. Ответ:


×

HTML:





Ссылка: