'

Доклад на районном МО математиков (март,2010г.). /Слепокурова Л.Г. МОУСОШ№74/.

Понравилась презентация – покажи это...





Слайд 0

Доклад на районном МО математиков (март,2010г.). /Слепокурова Л.Г. МОУСОШ№74/. Числовые неравенства и их свойства


Слайд 1

При сравнении двух действительных чисел X и Y возможны три случая: X = Y (x равно y); x>y (x больше y); x < y ( x меньше y). Выражение, в котором два числа или две функции соединены знаком > или < называются неравенствами. Неравенства, содержащие только числа, называются числовыми неравенствами. Если неравенство представляет собой истинное высказывание, то оно называется верным. Знаки >, < называются знаками строгих неравенств. Также используются знаки нестрогих неравенств: ?, ?. Неравенства x > y, u > v называются неравенствами одного знака или неравенствами одинакового смысла; неравенства x>y, u<v называются нераваенствами противоположных знаков или неравенствами противоположного смысла.


Слайд 2

СВОЙСТВА НЕРАВЕНСТВ: если a > b, то b < a; если a > b и b > c, то a > c (свойство транзитивности); если a > b, то a + c > b + c; если a > b и c > 0, то ac > bc или a/c > b/c; если a > b и c < 0, то ac< bc или a/c < b/c; если a > b > 0, то 1/a < 1/b; если a> b и c > d , то a + c > b + d; если a > b > 0 и c >d >0, то ac > bd; если a > b и c < d, то a – c > b ­– d; если a > b >0 и nєN, то an > bn. Пример: ( ГИА,2009). О числах a и b известно, что a < b. Какое из следующих неравенств верно при всех значениях переменных a и b? 5 – a < 5 – b; a + 3 > b + 3; 5a > 5b; (-1/3)a > (-1/3)b. * Верным является неравенство 4), которое приводится к неравенству, заданному в условии. Все остальные неравенства приводятся к виду a > b, что противоречит условию.


Слайд 3

Пример: (ГИА,2009). Какие из неравенств: 1) х + у < 25, 2) х + у < 30, 3) х + у < 40 верны при любых значениях х и у, удовлетворяющих условию х < 10, у < 20? 1 и 2, 1 и 3, 2 и 3, * 1, 2, 3. Пример: (ГИА,2009). О числах известно, что х < у < z. Какое из чисел положительно? у – z, x – z, x – y, z – x. *


Слайд 4

Пример: (ГИА,2009). Какое из следующих неравенств не следует из неравенства а – в > с? а > в + с, в < а – с, а – в – с > 0. * Пример: (ГИА,2009). Сравнить а2 и а3, если известно, что 0 < а < 1. 1) а2 < а3, 2) а2 > а3, * 3) а2 = а3, 4) для сравнения не хватает данных. Пример: (ГИА,2009). На координатной прямой отмечены числа x и y. Сравните числа -x и -y. 1) -х < -у, 2) -х > -у, * 3) -х = -у, 4) сравнить невозможно. Пример: (ГИА,2009). Какое из неравкнств: 1) ху > 200, 2) ху > 100, 3) ху > 400 верно при любых значениях х и у , удовлетворяющих условию х > 10, у > 20? 1 и 2, * 1 и 3, 2 и 3, 1, 2, 3.


Слайд 5

Два неравенства называются равносильными, если множества их решений совпадают. Используя свойства неравенств, можно преобразовать данное неравенство в равносильное, более простое. Линейным неравенством с одним неизвестным называется неравенство вида ax + b > 0 или ax + b < 0, где a и b – действительные числа и a ?0.


Слайд 6

Линейные неравенства с одной переменной. Если неравенство содержит буквенные выражения, то оно является верным лишь при определённых значениях входящих в него переменных. Например, неравенство x > 0 верно только при положительных значениях x, а неравенство x2 ? -1 не будет верным ни при одном значении x. Решить неравенство – значит указать все значения неизвестных величин, при которых неравенство становится верным, или показать, что таких значений не существует.


Слайд 7

Пример №1. Решить неравенство: 16 – 3x > 0. Ответ: ( - ?; 5?]. Неравенство, левая и правая части которого есть многочлены первой степени относительно x, путём равносильных преобразований можно привести к линейному неравенству. Пример №2. Решить неравенство: 2(x – 3) + 5(1 – x) ? 3(2x – 5). Выполнив равносильные преобразования, получаем 9х ? 14. Ответ: x є (- ?; 14/9]. Пример №3. Решить неравенство: 9x – 5 > 9x – 6. Выполнив равносильные преобразования, получим 0x > -1. Это неравенство справедливо при всех значениях x. Ответ: ( -?: +?). Пример №4. Решить неравенство: x – ( x + 1) /2 > (x – 3) /4 – ( x – 2) /3. Умножив обе части неравенства на наименьшее общее кратное всех знаменателей, т.е. на 12, будет 12х – 6х – 6 > 3х – 9 – 4х + 8 и после приведения подобных членов, получим 7x > 5. Ответ: x є ( 5/7; +?).


Слайд 8

Если требуется найти все значения переменной x, каждое из которых есть решение одновременно нескольких линейных неравенств, то говорят, что надо решить систему линейных неравенств с одним неизвестным x. Для того, чтобы решить систему линейных неравенств, надо решить каждое неравенство этой системы, а затем найти общую часть ( пересечение) полученных множеств решений – она и будет множеством всех решений данной системы. Обычно неравенства, входящие в систему, объединяют фигурной скобкой, хотя допустима запись и в виде двойного неравенства. Решение системы линейных неравенств сводится к осуществлению последовательности равносильных преобразований с последующей геометрической иллюстрацией на числовой оси. Две системы неравенств называются равносильными, если они имеют одно и то же множество решений. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ НЕРАВЕНСТВ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.


Слайд 9

Решение системы двух линейных неравенств с одной переменной может привести к одному из четырёх возможных случаев: 1)x > a, x > b. _________ (b; +?) 2)x > a, x < b; _________ ( a; b) 3)x < a, x < b; _________ ( -?; a). 4)x < a, x > b; ____ решений нет. Аналогично можно решать системы, содержащие и большее число неравенств.


Слайд 10

Пример №5. Решить систему неравенств: {2x + 3 > 0, {-4x + 5 < 0; Выполнив равносильные преобразования, получаем систему: {x > - 3/2; x > 5/4; Отметим на координатных осях интервалы, полученные для каждого неравенства отдельно: В качестве решения возьмём общую часть этих интервалов: ( 5/4; + ?). Геометрическую интерпретацию решения системы неравенств можно осуществлять и на одной числовой оси.


Слайд 11

Пример №6. Решить систему неравенств: 3x – 6 > 0, 15 – 5x ? 0, 1,7x – 5,8 < 1. Используя числовую ось, получаем решение системы: [3;4). Систему неравенств иногда можно записать в виде двойного неравенства и в этом случае удаётся применить другой способ решения.


Слайд 12

Пример №7. Решить систему неравенств: 2x – 5 > 0, 2x – 5 < 7. Запишем систему неравенств в виде двойного неравенства: 0 < 2x - 5 < 7, 5 < 2x < 12, 5/2 < x < 6. Следовательно, решением системы является интервал: (5/2; 6). Пример (ГИА,2009).Решить систему неравенств x + 5 ? 3x + 7 (2x – 1)/3 ? (x + 1)/2. Ответ: [ -1; 5].


Слайд 13

КВАДРАТНЫЕ НЕРАВЕНСТВА С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. Неравенство вида ax2 + bx + c > 0 (или ax2 + bx + c < 0), где a,b,c – действительные числа, причём a ? 0, называют неравенством второй степени с одним неизвестным x. Решением квадратного неравенства называют такое число x0, при подстановке которого вместо x получается верное числовое неравенство. Решить неравенство – это значит найти все его решения или доказать, что их нет. Решение неравенства ax2 + bx + c > 0 или ax2 + bx + c < 0 можно рассматривать как нахождение промежутков, в которых функция y = ax2 + bx + c принимает положительные или отрицательные значения. Для этого достаточно проанализировать, как расположен график функции y = ax2 + bx +c в координатной плоскости: куда направлены ветви параболы – вверх или вниз, пересекает ли парабола ось X и если пересекает, то в каких точках


Слайд 14

Итак, для решения неравенств вида ax2 + bx + c > 0 и ax2 + bx + c < 0 поступают следующим образом: находят дискриминант квадратного трёхчлена ax2 + bx + c и выясняют имеет ли трёхчлен корни; если трёхчлен имеет корни, то отмечают их на оси X и через отмеченные точки проводят схематически параболу, ветви которой направлены вверх при a > 0 или вниз при a < 0; если трёхчлен не имеет корней, то схематически изображают параболу, расположенную в верхней полуплоскости при a > 0 или в нижней при a < 0; находят на оси X промежутки, для которых точки параболы расположены выше оси X ( если решают неравенство ax2 + bx + c > 0) или ниже осиX ( если решают неравенство ax2 + bx + c < 0).


Слайд 15

Пример: (ГИА,2009). Для каждого неравенстваукажите множество его решений: а) х2 – 4 < 0, 1) ( -?; - 2) U (2; + ?) б) х2 + 4 < 0, 2) ( -2; 2) в) х2 – 4 > 0. 3) нет решений.


Слайд 16

Пример: (ГИА,2009).Найти все значения параметра a, при каждом из которых неравенство x2 – 2ax + 5a + 6 ? 0 не имеет решения. Решение. Квадратичная функция y = x2 – 2ax + 5a + 6 определена при всех значениях переменной. Поэтому если неравенство x2 - 2ax + 5a + 6 ? 0 не имеет решения, то это означает, что функция принимает положительные значения при всех значениях переменной. А это возможно, только если дискриминант квадратного трёхчлена , стоящего в левой части неравенства, будет отрицательным. Вычислим дискриминант, используя чётность второго коэффициента, получим: D1 = a2 – 5a – 6. Для нахождения искомых значений параметра осталось решить неравенство D1 < 0. Имеем: a2 – 5a – 6 < 0; (a + 1) (a – 6) < 0; -1 < a < 6. Ответ: ( -1; 6).


Слайд 17


Слайд 18

Задачи раздела НЕРАВЕНСТВА направлены на проверку умений: а) решать линейные неравенства с одной переменной, требующие для приведения их к простейшему виду алгебраических преобразований; системы неравенств; выбирать решения, удовлетворяющие дополнительным условиям; б) решать квадратные неравенства и системы, включающие квадратные неравенства; в) применять аппарат неравенств для решения других задач.


Слайд 19


Слайд 20


Слайд 21


Слайд 22


Слайд 23


Слайд 24

Пример №8. Решить неравенство: 3x2 – 2x – 5 ?0. Х = 1 + 4 3 Многочлен P(x) = ( x+ 1)( x – 5/3) содержит все скобки в первой ( нечётной) степени, значит при переходе через каждый корень знак будет меняться. Нас интересуют промежутки с отрицательными знаками, следовательно, x є [-1;5/3]. Пример №9. Решить неравенство: -4x2 + 4x – 1 < 0. Так как дискриминант квадратного трёхчлена равен нулю, то корень один x = ?, следовательно, имеем (x -?)2 > 0. Линейный множитель возводится в чётную степень, значит , знак менять не будем. Получаем: xє (-?;?) U (?;+?). Пример №10. Решить неравенство: 3x2 – 2x + 1 >0. Дискриминант квадратного трёхчлена отрицателен, значит корней нет, и квадратный трёхчлен положителен всюду. Получаем x є R.


Слайд 25


Слайд 26


Слайд 27


Слайд 28

Презентация подготовлена: учителем МОУСОШ №74 Слепокуровой Лилией Григорьевной


×

HTML:





Ссылка: