'

Математический анализ Тема: Дифференциальное исчисление

Понравилась презентация – покажи это...





Слайд 0

Лектор Пахомова Е.Г. 2010 г. Математический анализ Тема: Дифференциальное исчисление


Слайд 1

Глава II. Дифференциальное исчисление функции одной переменной Дифференциальное исчисление – раздел математики, в котором изучаются производные и дифференциалы функций и их применение к исследованию функций. §3. Производная функции 1. Определение производной функции. Необходимое условие существования производной Пусть y = f(x) определена в точке x0 и некоторой ее окрестности. Придадим x0 приращение ?x такое, что x0 + ?x?D(f) . Функция при этом получит приращение ?f(x0) = f(x0 + ?x)  – f(x0) .


Слайд 2

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Производной функции y = f(x) в точке x0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента ?x, при ?x ? 0 (если этот предел существует и конечен), т.е. Обозначают: Производной функции y = f(x) в точке x0 справа (слева) называется (если этот предел существует и конечен). Обозначают: – производная y = f(x) в точке x0 справа, – производная y = f(x) в точке x0 слева.


Слайд 3

ТЕОРЕМА 1 (необходимое и достаточное условие существо- вания производной). Функция y = f(x) имеет производную в точке x0 ? в этой точке существуют и равны между собой производные функции справа и слева. Причем ТЕОРЕМА 2 (необходимое условие существования производ- ной функции в точке). Если функция y = f(x) имеет производную в точке x0 , то функция f(x) в этой точке непрерывна. Замечание. Непрерывность функции в точке x0 не является достаточным условием существования в этой точке производной функции. Например, функция y = | x | непрерывна на всей области опре- деления, но не имеет производной в точке x0 = 0.


Слайд 4

Соответствие x0 ? f ?(x0) является функцией, определенной на множестве D1? D(f). Ее называют производной функции y = f(x) и обозначают Операцию нахождения для функции y = f(x) ее производной функции называют дифференцированием функции f(x).


Слайд 5

2. Физический и геометрический смысл производной 1) Физический смысл производной. Если функция y = f(x) и ее аргумент x являются физическими величинами, то производная f ?(x) – скорость изменения величины y относительно величины x . ПРИМЕРЫ. а) Пусть S = S(t) – расстояние, проходимое точкой за время t. Тогда производная S ? (t0) – скорость в момент времени t0. б) Пусть q = q(t) – количество электричества, протекающее через поперечное сечение проводника в момент времени t. Тогда q ? (t0) – скорость изменения количества электричества в момент времени t0, т.е. сила тока в момент времени t0. в) Пусть m = m(x) – масса отрезка [a ; x]. Тогда m ? (x) – скорость изменения массы в точке x0, т.е. линейная плотность в точке x0.


Слайд 6

2) Геометрический смысл производной. Пусть ? – некоторая кривая, M0 – точка на кривой ?. Любая прямая, пересекающая ? не менее чем в двух точках, называется секущей. Касательной к кривой ? в точке M0 называется предельное положение секущей M0M1, если точка M1 стремится к M0, двигаясь по кривой. Очевидно, что если касательная к кривой в точке M0 существует, то она единственная.


Слайд 7

Рассмотрим кривую y = f(x). Пусть в точке M0(x0 ; f(x0)) она имеет невертикальную касатель- ную M0N. Имеем: tg? = f ?(x0) – угловой коэффициент касательной к графику функции y = f(x) в точке M0(x0 ; f(x0)). (геометрический смысл производной функции в точке). ?Уравнение касательной к кривой y = f(x) в точке M0(x0 ; f(x0)) можно записать в виде


Слайд 8

Замечания. 1) Прямая, проходящая через точку M0 перпендикулярно касательной, проведенной к кривой в точке M0, называется нормалью к кривой в точке M0. Т.к. для угловых коэффициентов перпендикулярных прямых справедливо равенство k1 ? k2 = –1 , то уравнение нормали к y = f(x) в точке M0(x0 ; f(x0)) будет иметь вид , если f  ?(x0) ? 0. Если f  ?(x0) = 0, то касательная к кривой y = f(x) в точке M0(x0 ; f(x0)) будет иметь вид y = f(x0), а нормаль x = x0.


Слайд 9

3. Правила дифференцирования 1) Производная константы равна нулю, т.е. C ? = 0, где С – константа. 2) Производная суммы (разности) равна сумме (разности) производных, т.е. 3) Производная произведения находится по правилу: Замечание. Формула дифференцирования произведения может быть легко обобщена на случай большего числа множителей. Например,


Слайд 10

, где С – константа. Говорят: «константа выносится за знак производной». 5) Производная дроби находится по правилу: 6) Если функция ?(t) имеет производную в точке t, а функция f(u) имеет производную в точке u = ?(t), то сложная функция y = f(?(t)) имеет производную в точке t, причем (правило дифференцирования сложной функции). 7) ТЕОРЕМА 3 (о производной обратной функции). Пусть функция y = f(x) имеет производную в точке x0, причем f ?(x0) ? 0. Если существует обратная функция x = ?(y), то она имеет производную в точке y0 = f(x0) и


Слайд 11

По определению и с помощью правил дифференцирования находят производные основных элементарных функций (так называемая «таблица производных», см. методичку). Производная любой элементарной функции находится с помощью таблицы производных и правил дифференци- рования.


Слайд 12

§4. Дифференциал функции 1. Определение и геометрический смысл ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция y = f(x) называется дифференци- руемой в точке x0 , если ее приращение в этой точке может быть записано как сумма линейной относительно ?x части и бесконечно малой более высокого порядка чем ?x , т.е. ?f(x0) = A ? ?x + ?(?x) , (1) где A – число, ?(?x) – б.м. более высокого порядка чем ?x. Слагаемое A ? ?x в выражении (1) (т.е. линейную относи- тельно ?x часть ?f(x0)) называют дифференциалом функции y = f(x) в точке x0 и обозначают: dy(x0) , df(x0) .


Слайд 13

ТЕОРЕМА 1 (о связи дифференцируемости с существованием производной). Функция y = f(x) дифференцируема в точке x0 ? она имеет в точке x0 производную. При этом для ее дифференциала в точке x0 справедливо равенство dy(x0) = f ?(x0) ? ?x . (2) Соответствие (x0 ; ?x) ? df(x0) является функцией (2-х перемен- ных). Ее называют дифференциалом функции y = f(x) и обозначают dy , df(x) .


Слайд 14

Замечание. Из теоремы 1 следует, что нахождение производной и дифференциала функции представляет собой по существу одну и ту же задачу. Поэтому операцию нахождения производной называют дифференцированием функции. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция y = f(x) называется дифференци- руемой на интервале (a;b) если она дифференцируема (т.е. имеет производную) в каждой точке этого интервала. Функция y = f(x) называется дифференцируемой на отрез- ке [a;b] если она дифференцируема на интервале (a;b) и имеет соответствующие односторонние производные в точках a и b.


Слайд 15

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ДИФФЕРЕНЦИАЛА Рассмотрим график функции y = f(x). Пусть функция y = f(x) дифференцируема в точке x0. Тогда в x0 функция f(x) имеет производную f ?(x0) . в точке M0(x0 ; f(x0)) ? касательная к кривой y = f(x). Дифференциал функции y = f(x) в точке x0 равен приращению ординаты точки на касательной к кривой y = f(x), которое соответствует приращению ?x.


Слайд 16

Замечания. 1) Так как для дифференциала функции y = x  справедливо dy = dx = ?x , то говорят: «дифференциал независимой переменной равен ее приращению». Учитывая этот факт, формулу (2) можно переписать в виде dy = f ?(x) ? dx . (3) 2) Из формулы (3) получаем, что производная y ? = f ?(x) явля- ется отношением 2-х дифференциалов: Таким образом, символическая дробь превратилась в реальную дробь.


Слайд 17

2. Свойства дифференциалов Из теоремы 1 и правил дифференцирования получаем, что справедливы следующие утверждения 1) Дифференциал константы равна нулю, т.е. d(C) = 0 , где C – константа. 2) Дифференциал суммы (разности) равна сумме (разности) дифференциалов, т.е. d(u ? v) = du ? dv . 3) Дифференциал произведения находится по правилу: d(u ? v) = du ? v + u ? dv . 4) d(C ? u) = C ? du , где C – константа. Говорят: «константа выносится за знак дифференциала». 5) Дифференциал дроби находится по правилу:


Слайд 18

6) Формула dy = f ? (x) ? dx справедлива не только в том случае, когда x является независимым аргументом, но и в случае, когда x – функция. Поэтому формулу dy = f ? (x) ? dx называют инвариантной формой записи дифференциала. Замечание. Формула dy = f ?(x) ? ?x  (2) не является инвариантной. Т.е. она не будет справедлива, если x – функция.


Слайд 19

§5. Производные и дифференциалы высших порядков 1. Производные высших порядков Пусть y = f(x) дифференцируема на множестве X1?D(f) . Тогда на X1 определена f ?(x). Функцию f ?(x) называют также первой производной функции f(x) (или производной первого порядка функции f(x)). Если f ?(x) дифференцируема на некотором множестве X2?X1, то (f ?(x)) ? называют второй производной функции y = f(x) (или производной второго порядка функции f(x) ) и обозначают Замечание. Значение второй производной функции f(x) в точке x0 обозначают


Слайд 20

Если f ??(x) тоже дифференцируема на некотором множестве X3?X2, то ее производную (f ??(x)) ? называют третьей про- изводной функции y = f(x) (или производной третьего порядка функции f(x)). Продолжая этот процесс, назовем n-й производной функции y = f(x) ее производную от производной порядка n – 1. Обозначают: – третья производная y = f(x); – четвертая производная y = f(x); – n-я производная y = f(x). Производные порядка n > 1 называют производными высших порядков.


Слайд 21

ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ второй производной. Если S = S(t) – расстояние, проходимое точкой за время t , то S ? (t0) – скорость в момент времени t0 , S ?? (t0) – ускорение в момент времени t0 (скорость изменения скорости) Справедливы следующие утверждения. 1) (C ? u)(n) = C ? u(n), где C – константа. Говорят: «константа выносится за знак n-й производной». 2) Производная n-го порядка суммы (разности) функций равна сумме (разности) n-х производных слагаемых, т.е. (u ? v)(n) = u(n) ? v(n) . 3) n-я производная произведения находится по формуле Лейбница : где u(0) = u, v(0) = v.


Слайд 22

2. Дифференциалы высших порядков Пусть y = f(x) дифференцируема на множестве X1?D(f) . Дифференциал dy = f ?(x) ? dx – функция двух переменных x и dx = ?x. Зафиксируем значение dx. Тогда dy станет функцией одной переменной x. Дифференциал функции dy(x) (если он существует) называется дифференциалом второго порядка функции y = f(x) (или вторым дифференциалом функции y = f(x))  и обозначается d 2y, d 2f(x). d 2y – функция переменной x. Дифференциал функции d 2y (если он существует) называют дифференциалом третьего порядка функции y = f(x) (или третьим дифференциалом функции y = f(x)) и обозначается d 3y, d 3f(x).


Слайд 23

Продолжая далее этот процесс, определим дифференциал n-го порядка функции y = f(x) как дифференциал от диффе- ренциала порядка n – 1. Обозначают: d ny, d nf(x). Замечание. Значение дифференциала n-го порядка функции f(x) в точке x0 обозначают d ny(x0), d nf(x0) . Дифференциалы порядка n > 1 называют дифференциалами высших порядков. Если функция имеет дифференциал порядка n, то ее называют n раз дифференцируемой. ТЕОРЕМА 1 (о связи дифференциала n-го порядка и n-й производной). Функция y = f(x) n раз дифференцируема в точке x0 ? она имеет в точке x0 производную порядка n. При этом для d ny(x0) справедливо равенство d ny(x0) = f (n)(x0) ? (dx)n . (2)


Слайд 24

Замечания. 1) Скобки в правой части формулы (2) обычно опускают, т.е. записывают ее в виде: d ny(x0) = f (n)(x0) ? dxn . (3) 2) Из формулы (3) получаем, что n-я производная y(n) = f (n)(x) является отношением 2-х дифференциалов: Таким образом, символическая дробь превратилась в реальную дробь. 3) Дифференциалы порядка n (n > 1) не обладают свойством инвариантности. Т.е. формула (3) не будет верной, если x – функция.


Слайд 25

§6. Использование производной при вычислении пределов ТЕОРЕМА 1 (Правило Лопиталя). Пусть x0??? и выполняются следующие условия: 1) функции f(x) и ?(x) определены и непрерывны в некоторой ?-окрестности x0, за исключением возможно самой x0; 2) 3) функции f(x) и ?(x) дифференцируемы в U*(x0,?) , причем ? ?(x) ? 0 ,  ?x?U*(x0,?) . Тогда, если (конечный или бесконечный), то причем эти два предела будут равны. Т.е.


Слайд 26

Замечания. 1) Если f ?(x)  и ? ?(x)  тоже являются б.м. (б.б.) при x ? x0 , то правило Лопиталя можно применить повторно. 2) Если не существует, то правило Лопиталя непри- менимо. При этом может существовать. ПРИМЕР. Найти


Слайд 27

§7. Исследование функций и построение графиков 1. Возрастание и убывание функции ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция y = f(x) называется возрастающей (неубывающей) на интервале (a;b) если ?x1,x2?(a;b) таких, что x1 < x2  выполняется неравенство f(x1) < f(x2)  ( f(x1) ? f(x2) ). Иначе говоря, функция y = f(x) называется возрастающей на (a;b), если большему значению аргумента из (a;b) соответ- ствует большее значение функции. Функция y = f(x) называется убывающей (невозрастающей) на интервале (a;b) если ?x1,x2?(a;b) таких, что x1 < x2  выполняется неравенство f(x1) > f(x2) ( f(x1) ? f(x2) ). Иначе говоря, функция y = f(x) называется убывающей на (a;b), если большему значению аргумента из (a;b) соответ- ствует меньшее значение функции.


Слайд 28

Интервалы возрастания и убывания функции называются интервалами монотонности функции. ТЕОРЕМА 1(необходимое и достаточное условия возрастания (убывания) функции). Пусть y = f(x) дифференцируема на интервале (a;b). Тогда 1) если y = f(x) возрастает (убывает) на (a;b), то на этом интервале ее производная неотрицательна (неположи- тельна), т.е. f ?(x) ? 0 , ?x?(a;b) ( f ?(x) ? 0 , ?x?(a;b) ); (необходимое условие возрастания (убывания) функции) 2) если f ?(x) > 0 , ?x?(a;b) ( f ?(x) < 0 , ?x?(a;b) ) , то функция y = f(x) на (a;b) возрастает (убывает). (достаточное условие возрастания (убывания) функции)


Слайд 29

2. Экстремумы функции Пусть x0?D(f ), x0 – внутренняя точка D(f ) (т.е. существует не- которая окрестность точки x0 , целиком лежащая во мно- жестве D(f )). ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Точка x0 называется точкой максимума функции f(x) если существует такая ?-окрестность U(x0,?) точки x0, что f(x) < f(x0) , ?x?U*(x0,?). Значение функции точке максимума называется максимумом функции. Точка x0 называется точкой минимума функции f(x) если существует такая ?-окрестность U(x0,?) точки x0, что f(x) > f(x0) , ?x?U*(x0,?). Значение функции точке минимума называется минимумом функции. Точки минимума и максимума функции называются ее точками экстремума. Минимумы и максимумы функции называются ее экстре- мумами.


Слайд 30

Замечания: 1) Понятия минимум и максимум функции близки к понятиям наименьшее и наибольшее значения функции. Они показывают, в каком отношении находятся значение функции в точке x0 и в других точках. Различие – в области действия понятий. Наибольшее и наименьшее значения – понятия глобального характера, максимум и минимум – понятия локального характера. Поэтому в некоторой литературе употребляют термины «глобальный максимум (минимум)» вместо наибольшего (наименьшего) значения функции и «локальный максимум (минимум)» – вместо максимум (минимум) функции.


Слайд 31

2) Функция может иметь в своей области определения несколько точек максимума и минимума. Причем, некоторые минимумы функции могут быть больше ее максимумов.


Слайд 32

ТЕОРЕМА 2 (необходимое условие экстремума, теорема Ферма). Пусть x0 – точка экстремума функции f(x) и f(x) – диф- ференцируема в точке x0 . Тогда f ?(x0) = 0 . ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ТЕОРЕМЫ 2. Если x0 – точка экстремума функции f(x) и кривая y = f(x) имеет невертикальную касательную в точке M0(x0 ,f(x0)) , то эта касательная – горизонтальная. Точки, в которых производная функции f(x) равна нулю, называются стационарными точками функции f(x).


Слайд 33

ТЕОРЕМА 3 (достаточное условие экстремума). Пусть x0 – внутренняя точка D(f) , f(x) непрерывна в U(x0,?) f(x) дифференцируема в U(x0,?) или U*(x0,?) . Если при переходе через точку x0 производная функции f(x) меняет знак, то x0 является точкой экстремума. При этом, если производная меняет знак с плюса на минус, то x0 – точка максимума, если с минуса на плюс – то x0 – точка минимума. Замечание. Из теоремы 3 ? точками экстремума могут быть не только стационарные точки, но и точки, в которых функция не имеет производной (точки разрыва производной). Стационарные точки функции f(x) и точки, в которых f ?(x) не существует, называются критическими точками I рода (критическими точками по первой производной).


Слайд 34

3. Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть ? – кривая, M0 – точка кривой, причем в M0 существует невертикальная касательная к ?. Кривую ? называют выпуклой в точке M0, если в некоторой окрестности этой точки кривая лежит ниже касательной, проведенной к ? в точке M0. Кривую ? называют вогнутой в точке M0, если в некоторой окрестности этой точки кривая лежит выше касательной, проведенной к ? в точке M0.


Слайд 35

Точки кривой, которые разделяют ее выпуклые и вогнутые участки, называются точками перегиба кривой. Замечания. 1) Выпуклость и вогнутость кривой в точке – локальные понятия. Они определяют относительное расположение точек кривой и касательной вблизи точки касания. В точках, удаленных от точки касания, кривая и касательная могут располагаться произвольным образом. 2) В точке перегиба касательная к кривой (если она существует) пересекает кривую (кривая переходит с одной стороны касательной на другую).


Слайд 36

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Кривая y = f(x) называется выпуклой (вогнутой) на интервале (a;b) если ?x?(a;b) кривая выпукла (вогнута) в соответствующей точке M(x ; f(x)). Замечания. 1) Если M0(x0 ; f(x0)) – точка перегиба кривой y = f(x), то x0 – внутренняя точка области определения функции f(x). 2) Точками перегиба кривой y = f(x) часто называют точки, которые разделяют интервалы выпуклости и вогнутости этой кривой (т.е. абсциссы точек перегиба кривой y = f(x)).


Слайд 37

ТЕОРЕМА 5 (необходимое и достаточное условия выпуклости (вогнутости) графика функции). Пусть функция y = f(x) дважды дифференцируема на интервале (a;b). Тогда: 1) если кривая y = f(x) выпукла (вогнута) на интервале (a;b), то f ??(x) ? 0 (f ??(x) ? 0), ?x?(a;b) (необходимое условие выпуклости (вогнутости) кривой); 2) если f ??(x) < 0 (f ??(x) > 0) ?x?(a;b), то кривая y = f(x) выпукла (вогнута) на интервале (a;b) (достаточное условие выпуклости (вогнутости) кривой).


Слайд 38

СЛЕДСТВИЕ 6 (необходимое условие перегиба кривой y = f(x)). Пусть функция y = f(x) дважды дифференцируема в U(x0,?) (или в U*(x0,?) ). Если M0(x0 ; f(x0)) – точка перегиба кривой y = f(x), то f ??(x0) = 0 или в точке x0 функция y = f(x) не имеет второй производной. Замечание. Точки, в которых вторая производная функции y = f(x) обращается в ноль или имеет разрыв, называют иногда критическими точками II рода функции y = f(x) (или критическими точками функции y = f(x) по второй производной). ТЕОРЕМА 7 (достаточное условие перегиба кривой y = f(x)). Пусть x0 – внутренняя точка D(f ) и функция f(x) дважды дифференцируема в U*(x0,?). Если при переходе через точку x0 функция f ??(x) меняет знак, то точка M0(x0 ; f(x0)) является точкой перегиба кри- вой y = f(x).


Слайд 39

4. Асимптоты кривой ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Прямая ? называется асимптотой кривой, если при неограниченном удалении точки M кривой от начала координат расстояние от точки M до прямой ? стремится к нулю. Замечание. Выделяют два вида асимптот: вертикальные и наклонные. Вертикальные асимптоты кривая y = f(x) не пересекает (почему?), наклонные – может пересекать.


Слайд 40

ТЕОРЕМА 8 (необходимое и достаточное условие существова- ния наклонной асимптоты кривой y = f(x)). Прямая y = kx + b является наклонной асимптотой кривой y = f(x) ? существуют конечные пределы (или ). Замечания. 1) Из теоремы 8 следует, что график функции y = f(x) может иметь наклонную асимптоту только если функция определена в окрестности +? или –? . Причем, наклонных асимптот у кривой y = f(x) может быть не более двух: для правой ветви (т.е. при x ? +?) и для левой ветви (т.е. при x ? –?). 2) Если , то наклонная асимптота имеет уравнение y = b, т.е. является горизонтальной.


Слайд 41

ТЕОРЕМА 9 (необходимое и достаточное условие существова- ния вертикальной асимптоты кривой y = f(x)). Прямая x = a является вертикальной асимптотой кривой y = f(x) ? точка x = a является точкой разрыва II рода функции y = f(x), причем, хотя бы один из односторонних пределов f(a – 0), f(a + 0) равен бесконечности.


Слайд 42

СХЕМА ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИИ Найти область определения функции. Исследовать четность и периодичность функции. Исследовать точки разрыва, найти вертикальные асимптоты. Найти наклонные асимптоты (если их существование возможно). Найти точки пересечения графика с осями координат. Найти f ?(x) . Определить точки экстремума, интервалы воз- растания и убывания функции. Найти f ??(x). Определить точки перегиба графика, интервалы его выпуклости и вогнутости. Построить график функции.


×

HTML:





Ссылка: