'

Геометрическое доказательство формул сокращенного умножения

Понравилась презентация – покажи это...





Слайд 0

Геометрическое доказательство формул сокращенного умножения Подготовил: ученик 7Г класса Дмитриев Виктор Андреевич Научный руководитель: Заслуженный учитель РФ, к.п.н. Уласевич О.Н. Муниципальное общеобразовательное учреждение гимназия № 12 Липецк, 2009 Номинация «Геометрические миниатюры»


Слайд 1

Цель проекта: изучение исторических аспектов темы; доказательство формул сокращенного умножения с помощью геометрии; изучение предмета геометрической алгебры; систематизация полученных данных; создание презентации. Методы и приемы: анализ научной и исторической литературы по проблеме исследования, построение геометрических моделей доказательства формул сокращенного умножения, использование информационно-коммуникационных технологий, качественный анализ результатов.


Слайд 2

Историческая справка Использование геометрических чертежей как иллюстрации алгебраических соотношений встречалось еще в Древнем Египте и Вавилоне. Например, при решении уравнений с двумя неизвестными, одно называлось “длиной”, другое -”шириной”. Произведение неизвестных называли “площадью”. В задачах, приводящих к кубическому уравнению, встречалась третья неизвестная величина - “глубина”, а произведение трех неизвестных именовалось “объемом”. Древние египтяне и вавилоняне излагали свои алгебраические познания в числовой форме. Они не знали ни отрицательных чисел, ни, тем более комплексных и уравнения, не имеющие положительных корней ими не рассматривались. Все задачи и их решения излагались словесно. Геометрический путь, несомненно, был гениальной находкой античных математиков. Но, к сожалению, он сдерживал дальнейшее развитие алгебры. Ведь геометрически можно выразить лишь первые степени (длины), квадратные (площади) и кубы (объемы), но не высшие степени неизвестных. Да и неизвестные в этом случае могут быть только положительными числами. Наконец, вместо алгебраических преобразований приходилось производить геометрические построения, часто очень громоздкие. Чтобы построить неизвестное, иногда нужно было быть подлинным виртуозом - это шло на пользу геометрии, но не алгебре.


Слайд 3

Введение Евклид все действия над рациональными числами описывал на «геометрическом» языке: сложение чисел объяснял как сложение отрезков, а их произведение выражал площадью прямых прямоугольника со сторонами, равными данным отрезкам. Так возникла называемая геометрическая алгебра. Числа в геометрической алгебре аналогичны отрезкам прямой, а произведение их аналогично площади геометрической фигуры (прямоугольника или квадрата). Рассмотрим вывод формул сокращенного умножения, выполненный средствами геометрической алгебры. При этом, как будет показано, геометрические доказательства оказываются проще и нагляднее, чем соответствующие алгебраические.


Слайд 4

Содержание Введение. Историческая справка. Доказательство формулы (a+b)2=a2+2ab+b2. Доказательство формулы (a-b)2=a2-2ab+b2. Доказательство формулы a2-b2=(a-b)(a+b). Доказательство формулы (a+b)3=a3+3a2b+3ab2 +b3. Доказательство формулы (a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3. Доказательство формулы a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2). Доказательство формулы a3+b3=(a+b)(a2-ab +b2). Выводы. Информационные источники.


Слайд 5

Геометрическое доказательство формулы (a+b)2=a2+2ab+b2 S1 S2 S3 S4 a b a b Построим квадрат со стороной a, его площадь S1 = a2. Продолжим стороны квадрата на отрезок b, получим квадрат со стороной a+b, площадь которого S =(a+b)2 Вместе с тем, площадь квадрата со стороной a+b (S) состоит из площади квадрата со стороной a (S1), площади квадрата со стороной b (S4) и двух прямоугольников с площадями ab (S2, S3).  Тогда S = S1 + S2 + S3 + S4 или (a+b)2 = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2. К содержанию


Слайд 6

(a+b)3 = a3 + b(a+b)(a+b) + a(а+b)b +ааb = a3 + b(a2+2аb+ b 2)+aab+abb+aab= a3 + a2 b+ 2аb 2+ b3 + a2 b+ аb 2 + a2 b=a3 + 3a2 b+ 3аb 2+ b3. Геометрическое доказательство формулы (a+b)3=a3+3a2b+3ab2 +b3 V = V1 + V2 + V3 + V4 К содержанию


Слайд 7

Геометрическое доказательство формулы (a-b)2=a2-2ab+b2 a b a b b b a - b a - b Построим квадрат со стороной a, его площадь S = a2. Отложим на сторонах квадрата отрезок b, получим квадрат со а-b, площадь которого S1 =(a-b)2 Проведем отрезки, соединяющие концы отрезков a-b и b на каждой из сторон. S1 S2 S3 S4 Площадь квадрата со стороной a (S) состоит из площади квадрата со стороной a-b (S1), площади квадрата со стороной b (S4) и двух прямоугольников с площадями (a-b)b (S2, S3).  Тогда S1 = S - S2 - S3 - S4 или (a-b)2 = a2 - (a-b)b - (a-b)b - b2 = a2 – ab + b2 – ab + b2 - b2 = a2 - 2ab + b2.   К содержанию


Слайд 8

Геометрическое доказательство формулы a2-b2=(a-b)(a+b) a a - b b a S1 S2 S3 b Построим квадрат со стороной a и разделим его на квадрат со стороной b и два прямоугольника со сторонами a-b, a и a-b, b, соответственно. a - b Площадь фигуры, определяемая как разность площади квадрата со стороной a (S) и площади квадрата со стороной b (S1) равна сумме площадей прямоугольников со сторонами a-b, a (S2) и a-b, b (S3).  Тогда S - S1 = S2 + S3 или a2 – b2 = (a - b)a + (a - b)b = (a - b)(a + b). К содержанию


Слайд 9

Геометрическое доказательство формулы (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 V = V1 – V2 – V3 – V4 (a-b)3 = a3-baa-(a-b)ba-(a-b)(a-b)b = = a3-a2b-(a2b-b2a)-(a2-2ab+b2)b = = a3-a2b-a2b+ab2-a2b+2ab2-b3 = = a3-3a2b+3ab2-b3. V – объем куба со стороной a-b V1 – объем куба со стороной a V2 –объем параллелепипеда a,b,а V3- объем параллелепипеда a- b,b,а V4- объем параллелепипеда a- b, a- b, b К содержанию


Слайд 10

Геометрическое доказательство формулы a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2) V1 – V2 = V3 + V4 + V5 a3-b3 = (a-b)aa+(a-b)ab+(a-b)bb = = (a-b)(a2+ab+b2). V1 – объем куба со стороной a V2 - объем куба со стороной b V3–объем параллелепипеда a- b,а, а V4 - объем параллелепипеда a- b,b,а V5 - объем параллелепипеда a- b,b, b К содержанию


Слайд 11

Геометрическое доказательство формулы a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2) V1 + V2 = V3 – V4 – V5 a3+b3 = (a+b)aa-(a-b)bb-(a-b)ab = = a2(a+b)-b2(a-b)-ab(a-b) = = a2(a+b)-b(a-b)(a+b) = = (a+b)(a2-ab+b2). V1 – объем куба со стороной a V2 - объем куба со стороной b V3–объем параллелепипеда a+b,а, а V4 - объем параллелепипеда a- b,b, b V5 - объем параллелепипеда a- b,а, b К содержанию


Слайд 12

Выводы Доказательство формул сокращенного умножения можно выполнить средствами геометрической алгебры. Геометрические доказательства существенно проще и нагляднее, чем соответствующие алгебраические. C помощью таких геометрических объектов, как отрезки, прямоугольники, параллелепипеды, удалось доказать формулы сокращенного умножения. К содержанию


Слайд 13

Информационные источники Рывкин А.А., Рывкин А.З., Хренов Л.С. Справочник по математике. М.: ВШ, 1975. – 554 с. http://mf.mgpu.ru/Materials/Geom_alg [Геометрическая алгебра]. http://mf.mgpu.ru/Materials/Geom_alg [Агафонов В.В. Аналогия в математике]. К содержанию


Слайд 14

Геометрическая алгебра В геометрической алгебре величины стали изображать с помощью отрезков и прямоугольников. Сложение отрезков осуществлялось путем приставления одного из них к другому вдоль прямой, вычитание - путем отсечения от большего отрезка части, равной меньшему отрезку. Умножение осуществлялось путем построения прямоугольника на соответствующих отрезках.  Деление приводило к понижению размерности и выполнялось с помощью все того же “приложения площадей”. Складывать можно было только однородные величины: отрезки с отрезками, прямоугольники с прямоугольниками. Во втором случае возникали трудности, ибо для объединения двух прямоугольников в один  необходимо, чтобы у них была пара одинаковых сторон. К введению


×

HTML:





Ссылка: