'

Производная

Понравилась презентация – покажи это...





Слайд 0

Производная


Слайд 1

Физический смысл производной Содержание Основные формулы дифференцирования Производная элементарных функций Геометрический смысл Правила дифференцирования Производная частных функций Понятие производной


Слайд 2

Непрерывность Исследование функции с помощью производной Задачи на нахождение наибольшего и Наименьшего значения функции Практическая часть


Слайд 3

Понятие производной на главную f=(x0+ x) – f(x0) Определение. Производной функции f в точке х0 называется число, к которому стремится разностное отношение При х, стремящемся к нулю.


Слайд 4

Производная частных функций


Слайд 5

Правила дифференцирования (u v)/ = u/ v + v/u (C u)/ = Cu/ (f (u(х)))/ = f / (u (х))· u /(х)


Слайд 6

Основные формулы дифференцирования (Sinх)? = cosх ( Cosх)? = -Sinх (lnх)' = 1/х х>0 (log a)' = 1/(х ln а) (eх)' = eх (ах)' = ах lnа (kх + b )' = k (х р)? = р х р -1 (ln (kх + b) )' = k/ kх + b (log a)' = 1/х ln а (lg)/ = 1/х · lg e (ctgх)/ = - 1/sin2 х (tgх)/ = 1/cos2 х (kх + b )' = k


Слайд 7

Геометрический смысл производной Пусть задана функция y = f(х), которая имеет производную в точке х = а. Через точку (а; f(a)), проведена касательная к графику функции y = f(х). Угловой Коэффициент или тангенс угла наклона этой касательной будет равен производной функции y = f(х) в точке х = а, то есть k = tg ?= f /(a) . Y= f (a) + f /(a) (х-a) Уравнение касательной


Слайд 8

Непрерывность Функция y = f(x) называется непрерывной на промежутке, если она определена на этом промежутке и непрерывна в каждой точке промежутка. Геометрическая непрерывность функции на промежутке означает, что график этой функции на данном промежутке изображен сплошной линией без скачков и разрывов. При этом малому изменению аргумента соответствует малое изменение функции. Если при x = a функция y = f(x) существует в окрестности этой точки, но в самой точке x = a не выполняется условие непрерывности, говорят, что точка x = a есть точка разрыва функции. В самой точке x = a функция может существовать, а может и не существовать. на главную


Слайд 9

Пусть точка движется по некоторой прямой линии, так что ее положение меняется с течением времени. Рассмотрим эту прямую как числовую ось, тогда положение точки определяется её координатой, и с течением времени эта координата меняется, являясь тем самым функцией от времени. Уравнением движения называется запись у = f (t), показывающая, каким образом меняется координата с течением времени. Скорость движения с уравнением у = f (t) в момент времени t равна значению производной f '(t) в этот момент времени. В этом состоит физический смысл производной. Скорость движения при неравномерном движении изменяется с течением времени. Скорость изменения скорости называется ускорением, То есть f ' '(t). В этом состоит физический смысл второй производной. Физический смысл производной


Слайд 10

Определение 1. Пусть функция y = f(x) определена на отрезке[a; b]. Говорят, что функция имеет максимум в точке x0 [a; b], если существует окрестность точки x0, целиком содержащаяся в [a; b] и такая, что для любого x, принадлежащего этой окрестности, выполняется неравенство f(x) < f(x0). Под окрестностью точки x0 понимают интервал длины 2e с центром в точке x0, т. е. (x0 – e ; x0 + e), где e – произвольное положительное число. Определение 2. Пусть функция y = f (x) определена на отрезке [a; b]. Говорят, что функция имеет минимум в точке x0 [a; b], если существует окрестность точки x0, целиком содержащаяся в [a; b] и такая, что для любого x, принадлежащего этой окрестности, выполняется неравенство f (x) > f(x0).


Слайд 11

Максимумы и минимумы функции не являются обязательно наибольшими и наименьшими значениями этой функции во всей области определения. Например, функция y = f (x) определена на отрезке [a; b], имеет четыре экстремума: два минимума (x = C1 и x = C3) и два максимума (x = C2 и x = C4). Вместе с тем, функция достигает наибольшего значения при x = a и наименьшего при x = b. Признак максимума функции: Если функция непрерывна в точке x0 и ее производная, переходя через нее, меняет знак с плюса на минус, то x0 есть точка максимума. Признак минимума функции: Если функция непрерывна в точке x0 и ее производная, переходя через нее, меняет знак с минуса на плюс, то x0 есть Точка минимума.


Слайд 12

Схема исследования: Область определения. Чётность. Периодичность. Критические точки. Значение функции в критических точках. Промежутки возрастания и убывания. Экстремумы. Наибольшее и наименьшее значение функции. Дополнительные точки. Пример: исследовать функцию у = - х3 + 3х - 2 и построить её график Решение: Область определения: DУ = (- ?; +? ). Функция не является ни чётной, ни нечётной. Функция не является периодической. Производная: у‘ = 0 при х = 1 и х = -1. 6. У ‘(1) = 0; у(-1) = - 4. 7. у‘ < 0 при х є ( - ? ; -1), следовательно, на промежутке ( - ? ; -1) функция убывает; у‘ > 0 при х є ( - 1; 1) функция возрастает; у‘ < 0 при х є ( 1; +? ), следовательно, на промежутке ( 1; +?) функция убывает. Так как в точка х = -1 и х = 1 функция непрерывна, то эти точки присоединим к промежуткам убывания и промежутку возрастания. (- ? ; - 1]; [ 1; + ? ) – промежутки убывания. [-1;1] – промежуток возрастания. Исследование функции с помощью производной


Слайд 13

8. Так как в точке х = -1 производная меняет знак с минуса на плюс, то х = -1 – точка минимума Так как в точке х = 1 производная меняет знак с плюса на минус, то точка х = 1 – точка максимума Минимум функции: ymin= - 4 Максимум функции: ymax = 0. 9. Дополнительные точки: Если х = 0, то y = -2; Если х = -2, то y = 0. Построим график функции:


Слайд 14

Задачи на нахождение наименьшего и наибольшего значения функции. Пусть функция у = f (х), х є [а; b], непрерывна на отрезке [а; b], дифференцируема во всех точках этого отрезка и имеет конечное число критических точек на этом отрезке. Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции у = f (х), на отрезке [а; b], необходимо: Найти критические точки; Вычислить значение функции на концах отрезка и в критических точках; Выбрать из найденных значений наибольшее и наименьшее. если функция у = f (х) возрастает на отрезке [а; b], то f (a) – наименьшее значение, f (b) – наибольшее значение функции на этом отрезке. если функция у = f (х) убывает на отрезке [а; b], то f (а) – наибольшее значение, f (b) - наименьшее значение функции на этом отрезке.


Слайд 15

Практическая часть Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке: Решение: данная функция непрерывна и дифференцируема в каждой точке отрезка [ -1; 2]. Найдём производную: у/ = х2 – 4х + 3. Найдём критические точки: у/ = 0 при х = 1 и х = 3, 3€ [ -1; 2]. Найдём значение функции в точке х = 1 и на концах отрезка [ -1; 2]: У (1) = 13 /3 – 2 · 12 + 3 · 1 + 1 = 1/3 – 2 + 3 + 1 = 2 У(-1)=(-1)3/3 - 2· (-1)2 + 3· (-1) + 1= - 4 У(2)= 23/3 – 2 · 22 + 3 · 2 + 1 = 1 Ответ: max у(х) = 2 ; min у(х) = - 4 . [-1;2] [-1;2]


Слайд 16

Составьте уравнение касательной к параболе у =2 х2 – 12х + 20 в точке с абсциссой х = 4. Решение: уравнение касательной функции у = f (х) в точке х = a: у = f (а) + f / (а)( х – а) Найдём производную функции f ( 2 х2 – 12х + 20: Х) = f/ (х) = 4х – 12. Найдём значение производной и функции при х = 4: f/ (4) = 4· 4 – 12 = 4 f (х) = 2 · 42 – 12 · 4 + 20 = 4. Составим уравнение касательной: У = 4 + 4 (х – 4); У = 4 + 4х – 16; У = 4х – 12 У = 4х – 12 - уравнение касательной к параболе у =2 х2 – 12х + 20 в точке с абсциссой х = 4. Ответ: У = 4х – 12.


Слайд 17

Найти промежутки возрастания и убывания, точки максимума и точки минимума функции, максимумы и минимумы функции: у = 2х2 + 4х + 1. Решение: Найдём производную данной функции: у/ = 4х + 4. Так как у/ > 0 на ( - 1; + ?), значит, на этом интервале функция возрастает. Так как у/ < 0 на ( - ?; - 1), значит, на этом интервале функция убывает. Так как в точке х = - 1 функция у = 2х2 + 4х + 1 непрерывна, то эту точку присоединим к промежутку возрастания и промежутку убывания, то есть на промежутке [ - 1; + ?), функция возрастает, на промежутке ( - ?; - 1], функция убывает; Так как в точке х = - 1 производная меняет знак с минуса на плюс, то х = - 1 является точкой минимума. Найдём минимум функции: уmin = 2*( - 1)2 + 4 (- 1) + 1 = - 1. Ответ: на [ - 1; + ?), функция возрастает, на промежутке ( - ?; - 1], функция убывает; хmin = - 1; уmin = - 1.


Слайд 18

Найти координаты точки, в которой касательная к параболе у = 3/2 х2 - 4х + 5 образует угол 135o с осью Ох. Решение: Тангенс угла наклона равен производной функции в точке касания, то есть t g 135o = f /(х), t g 135o = -1 f /(х) = (3/2 х2 - 4х + 5 )/ = 3х – 4, 3х – 4 = - 1; 3х = 3; х = 1. Значит, 1 – абсцисса точки касания. Найдём ординату этой точки: f (1) = 3/2 · 12 – 4 · 1 + 5 = 3/2 – 4 + 5 = 2,5 (1; 2,5) – координаты точки касания. Ответ: (1; 2,5).


Слайд 19

Материальная точка движется прямолинейно по закону х (t) = 1/3 t3 – ? t2 + 2. Выведите формулу для вычисления скорости в любой момент времени и найдите скорость в момент t = 5 с. (Путь – в метрах). Решение: Скорость движения с уравнением х (t) = 1/3 t3 – ? t2 + 2 в момент времени t равна значению производной х/ (t) в этот момент времени. Поэтому: V = х/ (t) = t2 - t Найдём скорость в момент времени t = 5; V (5) = 52 – 5 = 25 – 5 = 20 (м/с). Ответ: V = 20 (м/с).


Слайд 20

Успехов вам на ЕГЭ!


×

HTML:





Ссылка: