'

Метод тригонометрических подстановок

Понравилась презентация – покажи это...





Слайд 0

Метод тригонометрических подстановок Презентацию выполнил: Ведин Артём


Слайд 1

Тригонометрическая подстановка используется в тех случаях, когда область определения исходного уравнения совпадает с областью значения тригонометрической функции или включается в эту область. Выбор той или иной функции при этом зависит от вида уравнения, неравенства, их систем или алгебраического выражения, которое требуется упростить.


Слайд 2

Если из условия задачи следует, что допустимые значения переменной определяются неравенством |x|?1, то удобны замены x=cos ? или x=sin ?. В первом случае достаточно рассмотреть ??[-?/2;?/2], так как на этом промежутке непрерывная функция y=sin x возрастает, поэтому каждое свое значение принимает ровно в одной точке.


Слайд 3

Непрерывная функция y=cos x убывает на промежутке [0;?], поэтому также каждое свое значение принимает ровно в одной точке. Вот почему в случае замены x=cos ?, достаточно взять ??[0;?].


Слайд 4

В случаях, когда переменная может принимать любые действительные значения, используются замены x=tg ?, ??(??/2;?/2) или x=ctg ?, ??(0;?), так как область значения функции y=tg x и y=ctg x на соответствующих промежутках есть множество всех действительных чисел.


Слайд 5

Когда выражение зависит от двух переменных x и y, целесообразно положить x=r sin?, y=r cos ?, где r?R, r?0. Такая замена законна. Действительно, для любых x и y существует такое r?0, что x2+y2=r2. При r?0 имеем


Слайд 6

А числа, сумма квадратов которых равна единице, по модулю не превосходят единицы и их можно рассматривать как синус и косинус некоторого угла. Геометрический смысл такой замены состоит в следующем: для каждой точки (x;y) определяется расстояние r до начала координат и угол ? наклона вектора (x;y) к положительному направлению оси абсцисс.


Слайд 7

Теперь решим несколько примеров


Слайд 8

Пример 1. Решить уравнение Конечно, данный пример можно разрешить, возведя в квадрат, не забыв про условие. Но тогда получится уравнение шестой степени, которое решается не совсем просто. Решение задач Пример 1


Слайд 9

Легче сделать так: Пусть x=cos ?, ??[0;?], тогда Решение задач Пример 1 Лишь три корня удовлетворяют условию 0 ? ? ? ?:


Слайд 10

Решение задач Пример 1


Слайд 11

Пример 2. Решить уравнение Перепишем пример в таком виде: Решение задач Пример 2 Пример 1


Слайд 12

Решение задач Пример 2 С учетом замены уравнение принимает такой вид:


Слайд 13

Решение задач Пример 2 Используем формулу разности синусов:


Слайд 14

Решение задач Пример 2 Учитывая, что ??[0;?], получаем


Слайд 15

Пример 3. Решить уравнение Поделим все члены уравнения на 2. Уравнение примет вид Решение задач Пример 3 Пример 2


Слайд 16

Докажем, что все корни данного уравнения по модулю не превосходят единицы. Пусть |x|>1, тогда |4x2?3|>1, |x(4x2? 3)|>1. Получили, что при |x|>1 левая часть уравнения по модулю больше единицы, а правая – меньше единицы, что невозможно. Решение задач Пример 3


Слайд 17

Положим x=cos ?, ??[0;?]. Уравнение примет вид Решение задач Пример 3


Слайд 18

Условию ??[0;?] удовлетворяют три значения Решение задач Пример 3


Слайд 19

Поскольку кубическое уравнение не может иметь больше трех различных корней, то мы нашли все решения. Решение задач Пример 3


Слайд 20

Пример 4. Решить уравнение Пусть x=t+1, тогда уравнение перепишется в виде Решение задач Пример 4 Введем замену Пример 3


Слайд 21

Это уравнение мы уже решали. Его корни Решение задач Пример 4 Два последних значения меньше нуля, поэтому нам подходит только


Слайд 22

Перейдем к переменной t, а затем к переменной x Решение задач Пример 4


Слайд 23

Пример 5. При каких а неравенство имеет решение. x=y=0 не является решением неравенства, поэтому поделим обе части неравенства на x2+y2. Решение задач Пример 5 Неравенство имеет решение при а большем наименьшего значения выражения Пример 4


Слайд 24

Положим x=r cos ?, y=r sin ?, ??[0;?], тогда Решение задач Пример 5


Слайд 25

Оценим выражение Решение задач Пример 5 Наименьшее значение выражения равно ?4,5. Значит, при a>?4,5 неравенство имеет решение. Ответ: a>?4,5


Слайд 26

Презентация окончена Спасибо за внимание. Решение задач Пример 5


×

HTML:





Ссылка: