'

Математика в компьютерной графике

Понравилась презентация – покажи это...





Слайд 0

1 Математика в компьютерной графике URL: http://www.school30.spb.ru/cgsg/cgc/ E-mail: CGSG@yandex.ru


Слайд 1

2 Базовые понятия свободные векторы, радиус векторы, операции с векторами, скалярное и векторное произведение векторов (vector dot & cross production) базис, координаты, декартова система координат матрицы, операции с матрицами, обращение матриц


Слайд 2

3 Преобразования (transformations) Аффинные Перспективные Билинейные


Слайд 3

4 Аффинные преобразования Параллельный перенос (translation)


Слайд 4

5 Аффинные преобразования Масштабирование (scaling)


Слайд 5

6 Аффинные преобразования Сдвиг (shearing)


Слайд 6

7 Аффинные преобразования Масштабирование (scaling)


Слайд 7

8 Аффинные преобразования Поворот относительно начала координат (rotation) r


Слайд 8

9 Матричная запись аффинных преобразований Перепишем в матричном виде общую запись аффинных преобразований:


Слайд 9

10 Однородные координаты (homogeneous) представим координаты на плоскости (2D) трехкомпонентной вектор - строкой: будем полагать w = 1 перепишем преобразование в общем виде:


Слайд 10

11 Матричный вид аффинных преобразований ~ translation ~ translation ~ shear by x ~ shear by y ~ rotation ~ scaling


Слайд 11

12 Композиция преобразований подвергнем точку последовательным преобразованиям системы координат: перепишем: в силу ассоциативности:


Слайд 12

13 Обратные аффинные преобразования


Слайд 13

14 Преобразование точек, векторов и нормалей точка (радиус-вектор) (p): вектор (v) и нормаль (n) (только направление): преобразования:


Слайд 14

15 Преобразование нормалей


Слайд 15

16 Нотации записи: столбец или строка Одно преобразование: Композиция преобразований:


Слайд 16

17 Пример: привязка систем координат заданы точки соответствия найти «матрицу перехода»


Слайд 17

18 Пример: привязка систем координат


Слайд 18

19 Пример: преобразование изображений Поворот и масштабирование => Прямое отображение (direct mapping) => <= Обратное отображение (inverse mapping) <=


Слайд 19

20 Пример: warping (1) Регулярная сетка для областей соответствия


Слайд 20

21 Пример: warping (2) Аффинные преобразования Билинейные преобразования Перспективные преобразования


Слайд 21

22 Пример: warping (3) Аффинные преобразования Билинейные преобразования Перспективные преобразования


Слайд 22

23 Пример: morphing morphing = warping + интерполяция цвета


Слайд 23

24 Перспективные преобразования


Слайд 24

25 Привязка с перспективным преобразованием (1) общая формула: прямое отображение: полагаем w=1, итоговая формула для координат:


Слайд 25

26 Привязка с перспективным преобразованием (2) получаем матрицу обратного отображения определитель присутствует и в числителе и в знаменателе – вычислять не нужно: находим присоединенную матрицу:


Слайд 26

27 Привязка с перспективным преобразованием (3) Задача привязки: по 4 точкам соответствия определить матрицу перехода:


Слайд 27

28 Привязка с перспективным преобразованием (4) запишем зависимость (выразим координаты x и y): выпишем в матричной форме 8 уравнений:


Слайд 28

29 Привязка с перспективным преобразованием (5) для упрощения задачи переход ищем из единичного квадрата: получаем:


Слайд 29

30 Привязка с перспективным преобразованием (6) обозначаем: и находим решение:


Слайд 30

31 Аффинные преобразования в пространстве Аналогично случаю 2D вводим однородные координаты: и преобразования в общем случае:


Слайд 31

32 Матрицы 3D преобразований (перенос, масштаб) ~ translation ~ scaling


Слайд 32

33 Матрицы 3D преобразований (поворот вокруг осей) ~ rotation


Слайд 33

34 Матрицы 3D преобразований (поворот вокруг оси) Поворот вокруг произвольной оси, проходящей через начало координат. Ось задается нормированным радиус вектором. Вывод через кватернионы (самостоятельно). ~ rotation


Слайд 34

35 Пример: построение матрицы камеры (1) камера задается: позиция С и векторы направление «вверх» V, «враво» U и вперед N. ищем преобразование в виде «перенос+поворот»: где


Слайд 35

36 Пример: построение матрицы камеры (2) после преобразования вектора отобразятся: т.е.


Слайд 36

37 Пример: построение матрицы камеры (3) зная находим


Слайд 37

38 Практические задания Реализовать warping изображения (срок – 6.11.2011): все изображение трансформируется билинейным преобразованием (один элемент соответствия) Изображение разделяется на треугольники – зоны соответствия. Искажение получается в соответствии с изменением сетки треугольников.


×

HTML:





Ссылка: