'

2 Э Т А П

Понравилась презентация – покажи это...





Слайд 0

2 Э Т А П Получение интегральных соотношений для G-функций Мейера, связанных с представлениями трехмерной и четырехмерной собственных групп Лоренца Вычисление матричных элементов переходов между базисами пространств представления и вывод соответствующих интегральных соотношений Работа выполняется в рамках Федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009 – 2013 годы (С) МГГУ им. М. А. Шолохова, 2010


Слайд 1

Целью второго этапа исследования было вычисление матричных элементов линейных операторов пространств представления, переводящих некоторый базис в другой базис, а также вывод из полученных матричных элементов новых интегральных соотношений для G-функций Мейера. В качестве пространства представления использовалось пространство бесконечно дифференцируемых функций на конусе или , отвечающих условию -однородности: . Представление групп Лоренца в пространствах задается по формуле .


Слайд 2

В случае трехмерной группы Лоренца были выделены следующие три контура на конусе, по одному разу пересекающие каждую образующую (может быть, за исключением одной): окружность : , парабола : и гипербола : . Указанные контуры были параметризованы следующим способом: , , .


Слайд 3

В случае четырехмерной группы были выделены аналогичные контуры: сфера : , параболоид : и гиперболоид : . Эти контуры были параметризованы так:


Слайд 4

В случае трехмерной группы Лоренца на контурах , и введены и продолжены по однородности на весь конус следующие базисы соответственно:


Слайд 5

Для случая четырехмерной группы Лоренца выполнен аналогичный процесс. Полученные базисы, в отличие от трехмерного случая, уже содержат специальные функции (многочлены Гегенбауэра, функции Бесселя и Лежандра). В частности, их сужения на контуры с учетом указанной выше параметризации имеют вид: и


Слайд 6

В трехмерном случае из разложения получается формула для матричных элементов перехода между базисами, где ? билинейный функционал , не зависящий от контура . Аналогично получаются формулы для матричных элементов перехода между другими базисами, а также формулы для четырехмерного случая.


Слайд 7

Вычисляя таким образом матричные элементы, мы можем выразить их через функции Мейера. Например, при и


Слайд 8

Из формул для матричных элементов композиции двух переходов между базисами получаются интегральные соотношения. Например, формула , приводит к соотношению


Слайд 9

Пусть Тогда функция как функция от является -однородной и, следовательно, . Уравнения вида при всех описывают двуполостные гиперболоиды в пространстве . Если и , то интегральный оператор назовется преобразованием Пуассона. Аналогично определяется преобразование Пуассона для четырехмерного случая. Оно не зависит от контура на конусе.


Слайд 10

Преобразование Пуассона, примененное, например, к обеим частям разложения , приводит к еще одному интегральному соотношению: где , и .


Слайд 11

Аналогично получаются соотношения для любой другой пары базисов в трехмерном и четырехмерном случаях. В некоторых частных случаях получаются соотношения для других функций: например, интегральное представление функции Лежандра


Слайд 12

а также частный случай преобразования Меллина квадрата функции Макдональда и функции Мейера


×

HTML:





Ссылка: