'

ПРОСТЕЙШИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

Понравилась презентация – покажи это...





Слайд 0

ПРОСТЕЙШИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ


Слайд 1

Тригонометрическим уравнением называется уравнение, содержащее переменную под знаком тригонометрических функций. Уравнения вида sin x = a; cos x = a; tg x = a; ctg x = a, где x - переменная, aR, называются простейшими тригонометрическими уравнениями. Что называется Тригонометрическим уравнением


Слайд 2

Простейшие тригонометрические уравнения: Пример 1. 2sin(3x - p/4) -1 = 0. Решение. Решим уравнение относительно sin(3x - p/4). sin(3x - p/4) = 1/2, отсюда по формуле решения уравнения sinx = а нахо­дим 3х - p/4 = (-1)n arcsin 1/2 + np, nIZ. Зх - p/4 = (-1)n  p/6 + np, nIZ; 3x = (-1)n p/6 + p/4 + np, nIZ; x = (-1)n  p/18 + p/12 + np/3, nIZ Если k = 2n (четное), то х = p/18 + p/12 + 2pn/3, nIZ. Если k = 2n + 1 (нечетное число), то х = - p/18 + p/12 + ((2pn + 1)p)/3 = = p/36 + p/3 + 2pn/3 = 13p/36 + 2pn/3, nIz. Ответ: х1 = 5p/6 + 2pn/3,nIZ, x2 = 13p/36 + 2pn/3, nIZ, или в градусах: х, = 25° + 120 · n, nIZ; x, = 65° + 120°· n, nIZ. Пример 2. sinx + Oз cosx = 1. Решение. Подставим вместо Oз значение ctg p/6, тогда уравнение при­мет вид sinx + ctg p/6 cosx = 1; sinx + (cosp/6)/sinp/6 · cosx = 1; sinx sin p/6 + cos p/6 cosx = sin p/6; cos(x - p/6) = 1/2. По формуле для уравнения cosx = а находим       х - p/6 = ± arccos 1/2 + 2pn, nIZ; x = ± p/3 + p/6 + 2pn, nIZ;      x1 = p/3 + p/6 + 2pn, nIZ; x1 = p/2 + 2pn, nIZ;      x2 = - p/3 + p/6 + 2pn, nIZ; x2  = -p/6 + 2pn, nIZ; Ответ: x1 = p/2 + 2pn, nIZ;  x2  = -p/6 + 2pn, nIZ.


Слайд 3

Двучленные уравнения: Пример 1. sin3x = sinx. Решение. Перенесем sinx в левую часть уравнения и полученную разность преобразуем в произведение. sin3x - sinx == 0; 2sinx · cos2x = 0. Из условия равенства нулю произведения получим два простейших уравнения. sinx = 0 или cos2x = 0. x1 = pn, nIZ, x2 = p/4 + pn/2, nIZ. Ответ: x1 = pn, nIZ, x2 = p/4 + pn/2, nIZ.


Слайд 4

Разложение на множители: Пример 1. sinx + tgx = sin2x / cosx Решение. cosx ? 0; x ? p/2 + pn, nIZ. sinx + sinx/cosx = sin2x / cosx . Умножим обе части уравнения на cosx. sinx · cosx + sinx - sin2x = 0; sinx(cosx + 1 - sinx) = 0; sinx = 0 или cosx - sinx +1=0; x1 =  pn, nIZ; cosx - cos(p/2 - x) = -1; 2sin p/4 · sin(p/4 - x) = -1; O2 · sin(p/4 - x) = -1; sin(p/4 -x) = -1/O2; p/4 - x = (-1) n+1 arcsin 1/O2 + pn, nIZ; x2 = p/4 - (-1) n+1 · p/4 - pn, nIZ; x2 = p/4 + (-1) n · p/4 + pn, nIZ. Если n = 2n (четное), то x = p/2 + pn, если n = 2n + l (нечетное), то x = pn. Ответ: x1 = pn, nIZ; x2 = p/4 + (-I)n  · p/4 + pn, nIZ.


Слайд 5

Способ подстановки Пример 1. 2 sin2x = 3cosx. Решение. 2sin2x - 3cosx = 0; 2 (l - cos2x) - 3cosx = 0; 2cos2x + 3cosx - 2 = 0. Пусть z = cosx, |z| ? 1. 2z2 + 32z - 2=0. Д = 9+16 = 25; OД = 5;  z1 = (-3 + 5)/4 = 1/2; z2 = (-3-5)/ 4 = -2 - -не удовлетворяют условию для z. Тогда решим одно простейшее уравнение: cosx = 1/2; х = ± p/3 + 2pn, nIZ. Ответ: х = ± p/3 + 2pn, nIZ.


Слайд 6

Однородные уравнения Однородные тригонометрические уравнения имеют такой вид: a sin2x + b sinxcosx + c cos2x = 0 (однородное уравнение 2-й степени) или a sin3x + b sin2x cosx + c sinx cos2x + d sin3x = 0 и т.д. В этих уравнениях sinx ? 0, cosx ? 0. Решаются они делением обеих частей уравнения на sin2x или на cos2x и приводятся к уравнениям отно­сительно tgx или ctgx. Пример 1. O3sin2 2x - 2sin4x + O3cos22x = 0. Решение. Разложим sin4x по формуле синуса двойного угла. Получим уравнение O3sin22x - 4sin2xcos2x + O3cos22x = 0. Разделим на cos22x. Уравнение примет вид O3 tg22x – 4tg2x + O3 = 0. Пусть z = tg2x, тогда O3z2 - 4z + O3 = 0; Д = 4; OД = 2. z1 = (4 +2)/2O3 = 6/2O3 = O3; z2 = (4 – 2)/2O3 = 1/O3 tg2x = O3          или         tg2x = 1/O3 2x = p/3 + pn, nIZ;         2x = p/6 + pn, nIZ; x1 = p/6 + pn/2, nIZ ; x2 = p/12 + pn/2, nIz. Ответ: x1 = p/6 + pn/2, nIZ ; x2 = p/12 + pn/2, nIz.


Слайд 7

Уравнение вида a sinx + b cosx = с Пример 1. 3sinx + 4cosx = 5. Решение. Разделим обе части уравнения на 5, тогда 3/5sinx + 4/5cosx = 1. sinj = 4/5; cosj = 3/5; sin(x+j) = 1, x + j =  p/2 + 2pn, nIZ. Ответ: x = p/2 - arcsin 4/5 + 2pn, nIZ.


Слайд 8

Дробно-рациональные тригонометрические уравнения Уравнения, содержащие тригонометрические дроби, называются дробно-рациональными уравнениями. В этих уравнениях требуется сле­дить за областью допустимых значений. Пример 1. 1/(O3-tgx) – 1/(O3 +tgx) = sin2x Решение. Область допустимых значений решений этого уравнения tgx ? ± O3, х ? ± p/8 + pn, nIZ и х ? ± p/2 + pn, nIZ. Левую часть уравнения приведем к общему знаменателю, а правую преобразуем с помощью формулы выражения синуса угла через тан­генс половинного угла. (O3 + tgx - O3 + tgx)/3 - tg2x = 2tgx/ (1 + tg2x); 2tgx / (3 - tg2x) = 2tgx/(1 + tg2x) x1 = pn, nIZ Второе уравнение имеет вид 2tg2x - 2 = 0; tg2x = 1; tgx = ±1; x2  = ± p/4 + pn, nIZ. Ответ: x1 = pn, nIZ; х2 = ± p/4 + pn, nIZ.


Слайд 9

Иррациональные тригонометрические уравнения Если в уравнении тригонометрическая функция находится под зна­ком радикала, то такое тригонометрическое уравнение будет иррацио­нальным. В таких уравнениях следует соблюдать все правила, которы­ми пользуются при решении обычных иррациональных уравнений (учи­тывается область допустимых значений как самого уравнения, так и при освобождении от корня четной степени). Пример 1. O( cos2x + Ѕ) + O( sin2x  + Ѕ) = 2. Решение. Уравнение имеет смысл при любом х. Возведем обе части уравнения в квадрат. cos2x + Ѕ + 2 O(( cos2x + Ѕ) ( sin2x  + Ѕ)) + sin2x + Ѕ = 4 O(( cos2x + Ѕ) ( sin2x  + Ѕ)) = 1; ( cos2x + Ѕ) ( sin2x  + Ѕ) = 1 ( Ѕ + Ѕ cos2x + Ѕ)( Ѕ - Ѕ cos2x + Ѕ) = 1; (1 + Ѕ cos2x) (1 - Ѕ cos2x) = 1; 1 – ј cos22x = 1; cos2x=0; x = p/4 + pn/2, nIz Ответ: x = p/4 + pn/2, nIz.


Слайд 10

Тригонометрические уравнения, в которых под знаком тригонометрической функции находится функция Особого внимания заслуживают тригонометрические уравнения со сложной зависимостью, когда под знаком тригонометрической функ­ции находится какая-либо другая функция. Эти уравнения требуют до­полнительного исследования множества решений. Пример 1. tg(x2 + 5x)ctg 6=1. Решение. Запишем уравнение в виде tg(x2+5x)=tg 6. Учитывая, что аргументы равных тангенсов отличаются на свои периоды теп, имеем х2 + 5х = 6 + pn, nIZ; х2 + 5х - (6+pn) = 0, nIz; Д = 25 + 4(6 + pn) = 49 + 4pn, nIZ; х1,2 =  (-5 ± O(49 + 4pn))/2, nIz Решение имеет смысл, если 49 + 4pn > 0, т.е. n ? -49/4p; n ? -3.


×

HTML:





Ссылка: