'

Исследование функций на монотонность.

Понравилась презентация – покажи это...





Слайд 0

Материал по теме «Монотонность функций» подготовлен учениками 9 класса Исследование функций на монотонность.


Слайд 1

План показа: Введение.    1. Определения возрастающей и убывающей функций. Графики функций. 2. Алгоритм исследования функции на монотонность. 3.  Примеры исследования функций на монотонность. Выводы.


Слайд 2

Введение.    Только с алгеброй начинается строгое математическое учение. Н.И. Лобачевский Мы изучаем алгебру по комплектам учебников (под рук. Мордковича А.Г.), где учебный материал излагается по схеме: функция - уравнения – преобразования. В 7-м и 8-м классах мы учились читать графики, описывая некоторые свойства функций. В 9-м классе узнали много новых определений и научились применять их для исследования функций. Таким образом, появилась возможность, ответить на многие вопросы без построения графиков функций и, наоборот, по графикам – определить свойства функций. Замечательным свойством функции является монотонность. Наш показ посвящен этому свойству.


Слайд 3

Определения возрастающей и убывающей функций. Функцию y = f(x) называют возрастающей на множестве X?D(f), если для любых двух точек x1 и x2 множества X, таких, что x1 < x2 выполняется неравенство f (x1 ) < f (x2 ). Функцию y = f(x) называют убывающей на множестве X?D(f), если для любых двух точек x1 и x2 множества X, таких, что x1 < x2 выполняется неравенство f (x1 ) > f (x2 ). Термины «возрастающая функция» и «убывающая функция» объединяют общим названием монотонная функция.


Слайд 4

3. Алгоритм исследования функции на монотонность. Найти область определения функции y = f(x): множество X?D(f). Выбрать произвольные значения аргумента x1 и x2 множества X такие, что x1 < x2 . Найти значения функции f (x1 ) и f (x2 ). Если из x1 < x2 следует f (x1 ) < f (x2 ), то заданная функция возрастает на D(f); если из x1 < x2 следует f (x1 ) > f (x2 ), то заданная функция убывает на D(f).


Слайд 5

4.  Примеры исследования функций на монотонность. Исследовать на монотонность функцию: 1. y = 2 - 5x; 2. y = x3 +4; 3. y = x3 +2x2; 4. y = - 3x3 - x; 5. y = x0,5 +x5 ; 6. y = - x3 - x0,5 .


Слайд 6

1. y = 2 – 5x. Решение. Область определения функции y = 2 – 5x: D(y)= (- ? ; + ?). Выберем произвольные значения аргумента x1 и x2 из D(y) такие, что x1 < x2. Найдем значения функции f (x1 )= 2 – 5 x1 и f (x2 )= 2 – 5 x2 . По свойствам числовых неравенств имеем: – x1 > – x2 ; 2 – 5 x1 > 2 – 5 x2 3 . Итак, из x1 < x2 следует f (x1 ) > f (x2 ) , то заданная функция убывает на D(y).


Слайд 7

2. y = x 3 + 4.  Решение. Область определения функции y = x3 + 4 : D(y)= (- ? ; + ?). Выберем произвольные значения аргумента x1 и x2 из D(y) такие, что x1 < x2 . Найдем значения функции f (x1 ) = x13 + 4 и f (x2 ) = x23 + 4. По свойствам числовых неравенств имеем: x13 < x2 3 ; x13 + 4 < x2 3 + 4. Итак, из x1 < x2 следует f (x1 ) < f (x2 ), то заданная функция возрастает на D(y).


Слайд 8

3. y = x3 +2x2 . Решение. Область определения функции y = x3 + 2x2: D(y)= (- ? ; + ?). Выберем произвольные значения аргумента x1 и x2 из D(y) такие, что x1 < x2 . Найдем значения функции f (x1 ) = x13 + 2 x12 и f (x2 ) = x23 + 2 x22. По свойствам числовых неравенств имеем: x13 < x23 ; x13 + 2 x1 2 < x23 + 2. Итак, из x1 < x2 следует f (x1 ) < f (x2 ), то заданная функция возрастает на D(y).


Слайд 9

4. y = – 3x3 – x. Решение. Область определения функции y = – 3x3 – x : D(y)= (- ? ; + ? ). Выберем произвольные значения аргумента x1 и x2 из D(y) такие, что x1 < x2. Вычислим значения функции f (x1 )= – 3x1 3 – x1 и f (x2 )= – 3x2 3 – x 2 . По свойствам числовых неравенств имеем: – x1 3 > – x2 3 ; – x1 (3x1 2 + 1) > – x2 (3x2 2 +1); – 3x1 3 – x1 > – 3x2 3 – x 2 . Итак, из x1 < x2 следует f (x1 ) > f (x2 ) , то заданная функция убывает на D(y).


Слайд 10

5. y = x0,5 +x5. Решение. Область определения функции y = x0,5 +x5 : D(y)= [ 0 ; + ?). Выберем произвольные значения аргумента x1 и x2 из D(y) такие, что x1 < x2 . Найдем значения функции f (x1 ) = x1 0,5 +x1 5 и f (x2 ) = x 2 0,5 +x2 5 По свойствам числовых неравенств имеем: x10,5 < x2 0,5 ; x1 5 < x2 5 ; x10,5 + x1 5 < x2 0,5 + x2 5 . Итак, из x1 < x2 следует f (x1 ) < f (x2 ), то заданная функция возрастает на D(y).


Слайд 11

6. y = - x3 - x0,5 . Решение. Область определения функции y = – x3 – x0,5: D(y)= [ 0; + ? ). Выберем произвольные значения аргумента x1 и x2 из D(y) такие, что x1 < x2. Вычислим значения функции f (x1 )= – x1 3 – x10,5 и f (x2 )= – x2 3 – x2 0,5. По свойствам числовых неравенств имеем: – x1 3 > – x2 3 ; – x10,5 > – x2 0,5 ; –x10,5 (x1 2,5 + 1) > – x2 (x2 2,5 +1); – x1 3 – x10,5 > – x2 3 – x 2 0,5 . Итак, из x1 < x2 следует f (x1 ) > f (x2 ) , то заданная функция убывает на D(y).


Слайд 12

Выводы.    Данный материал подготовлен как вводное повторение для урока по теме « Теорема о корне при решении уравнений». Свойство монотонности функции будет в дальнейшем использоваться для решения нестандартных задач. Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи, то решайте их. Д.Пойа


×

HTML:





Ссылка: