'

Проблема поиска корней многочленов

Понравилась презентация – покажи это...





Слайд 0

Проблема поиска корней многочленов Муниципальное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа №3 имени Тази Гиззата г. Агрыз, Агрызского муниципального района Республика Татарстан 2011 год Подготовила: Сулейманова Диляра, 11 класс Руководитель: Зарипова Р.М., учитель математики I квалификационной категории


Слайд 1

Содержание 1. Введение 2. Определение многочлена 3. Нахождение корней многочленов 4. Теорема Безу 5. Схема Горнера 6. Заключение 7. Список литературы


Слайд 2

Введение Изучению темы «Многочлены» в программе по математике основной школы уделяется большое внимание. За пределами школьного курса остаются некоторые методы отыскания корней многочленов, операции деления многочлена на многочлен. В связи с этим школьники лишены возможности решить некоторые алгебраические уравнения высших степеней (в том числе возвратные, однородные), приемы решения которых тесно связаны с отысканием корней многочленов. Между тем, такие задания встречаются в экзаменационных работах. Поэтому целью моей работы стало нахождение формул и методов решения уравнений высших степеней, нахождение корней которых связано с отысканием корней многочленов. Меню


Слайд 3

Определение многочлена В школьной алгебре одночленом от некоторой буквы x называется алгебраическое выражение вида ахm, где a - некоторое число, x - буква, m - целое неотрицательное число. Одночлен ax0 отождествляется с числом a, так что числа рассматриваются как одночлены. Подобные одночлены складываются по правилу axm + bxm = (a+b)xm, называемому приведением подобных членов. Многочленом или полиномом называется алгебраическая сумма одночленов. Поэтому любой полином можно записать в канонической форме a0xn + a1xn-1 + …+ an, с расположением членов в порядке убывания показателей. Меню


Слайд 4

Нахождение корней многочлена 1. В общем случае решение квадратных уравнений сводится к нахождению дискриминанта: Формула дискриминанта: D = b2 – 4ac В общем случае корни уравнения равны: x1,2 = -b±vD/2a Очевидно, в случае с нулевым дискриминантом, оба корня равны x1,2 = -b/2a Например: x2 + 3x – 4 = 0 Ответ: 1, 4 Меню


Слайд 5

2. Теорема Виета: Приведенным квадратным уравнением называется уравнение с единичным коэффициентом при старшем члене: х? + рх+q = 0. В этом случае целесообразно применять теорему Виета, которая позволяет получить относительно корней уравнения следующую систему уравнений : x1 + x2 = -р x1 • x2 = q Например: x2 – 5x + 6 = 0 2 · 3 = 6 2 + 3 =5 Ответ: 2,3 Франсуа? Вие?т (1540 — 13 февраля 1603) — французский математик, основоположник символической алгебры. По образованию и основной профессии — юрист. Меню


Слайд 6

3. Вынесение общего множителя за скобки: Это преобразование является непосредственным следствием распределительного закона ac + bc = c(a + b). Пример: решить уравнение 12 y3 – 20 y2 = 0. Решение. Имеем: 12 y3 – 20 y2 = 4 y2 · 3y – 4 y2 · 5 = 4 y2 (3 y – 5), тогда 4 y2 (3 y – 5) = 0, отсюда 4 y2 = 0 или (3 y – 5) = 0; у=0 или у=5/3. Ответ: у = 0 и у = 5/3. 4. Способ группировки: Этот способ заключается в том, что слагаемые многочлена можно сгруппировать различными способами на основе сочетательного и переместительного законов. Общий множитель можно вынести за скобку и исходный многочлен окажется представленным в виде произведения. Пример: х3 – 8х2 + 3х – 24 = 0, ( х3 +3х) ?(8х?+24) = 0, x(x2+3) - 8(х2+3) =0, (x-8) (х2+3) =0, х=8 или (х2+3)?0. Ответ: 8 Меню


Слайд 7

5. Использование формул сокращенного умножения: Пример. Разложить на множители многочлен x4 – 1. Решение. Имеем: x4 – 1 = ( x2 )2 – 1 = ( x2 – 1)( x2 + 1) = ( x2 – 1 )( x2 + 1) = ( x + 1)( x – 1)( x2 + 1). ( x + 1)( x – 1)( x2 + 1)=0, отсюда х = -1, х = 1, ( x2 + 1)?0. Ответ: 1, -1. Меню


Слайд 8

6. Метод введения новой переменной: Пример. Решить уравнение х(х-1)(х-2)(х-3) = 24. Решение. Заметив, что х(х-3) = х2 – 3х, а (х-1)(х-2) = х2 – 3х + 2, перепишем уравнение в виде (х2 – 3х)(х2 – 3х + 2) = 24. Введя новую переменную у = х2 – 3х, преобразуем уравнение к виду у(у+2) = 24 и, далее, у2 + 2у – 24 = 0. Корнями этого квадратного уравнения служат числа 4 и -6. Возвращаясь к переменной х, мы должны решить два уравнения: х2 – 3х = 4; х2 – 3х = ?6. Из первого уравнения находим х1 = 4, х2 = ?1; второе уравнение не имеет действительных корней. Ответ: 4; -1. Меню


Слайд 9

7. Функционально-графический метод: Пример. х5 + 5х – 42 = 0. Решение. Преобразуем уравнение к виду х5 = 42 – 5х. Поскольку функция у = х5 возрастает, а функция у = 42 – 5х убывает, то уравнение х5 = 42 – 5х имеет только один корень (рис.; масштабы на осях координат различные), и этот корень нетрудно подобрать: х = 2. Ответ: 2. Меню


Слайд 10

Теорема Безу Теорема: При делении многочлена n-й степени относительно x на двучлен (x-a) остаток равен значению делимого при x=a. (Буква a может обозначать любое действительное или мнимое число, т.е. любое комплексное число.) При решении уравнений с помощью теоремы Безу необходимо: Найти все целые делители свободного члена; Из этих делителей найти хотя бы один корень уравнения (а); Левую часть уравнения разделить на (х-а); Записать в левой части уравнения произведение делителя и частного; Решить полученное уравнение. Этье?нн Безу? (31 марта 1730, Немур — - 27 сентября 1783, Бас-Лож близ Фонтенбло) — французский математик, член Парижской академии наук (1758). Меню


Слайд 11

Пример: Найти корни уравнения x4+4x2–5 = 0. Среди делителей свободного члена число 1 является корнем данного уравнения, а это значит, что по следствию 2 из теоремы Безу многочлен x4+4x2–5 делится на (x–1) без остатка: значит x4+4x2–5 =(x–1)(x3+x2+5x+5). Среди делителей свободного члена многочлена x3+x2+5x+5, x=-1 является его корнем, а это значит, что по следствию 2 из теоремы Безу x3+x2+5x+5 делится на (x+1) без остатка: значит x3+x2+5x+5 =(x+1)(x2+5). Отсюда x4+4x2–5 =(x–1)(x+1)(x2+5). (x2+5) на множители не раскладывается, т.к. действительных корней не имеет, поэтому (x–1)(x+1)(x?+5)=0 (x–1)=0 или (x+1)=0 или (x2+5)=0 х = 1 х = -1 х? ? -5 Ответ: 1; -1.


Слайд 12

Схема Горнера Горнер Джордж Уильямс (11 октября 1821 — 1905) - английский математик, работал в области алгебры. В 1819 опубликовал способ приближенного вычисления вещественных корней многочлена, который назвал способом Руффини — Горнера. Этот способ был известен китайцам еще в 13 в. Именем Горнера названа схема деления многочлена на двучлен (х — а). Пусть р(х) = bх4 + сх3 +dx2 + ех + f. Разделив р(х) на х – а, получим р(х) = (х - а)q(x) + r, где q(x) – некоторый многочлен третьей степени, коэффициенты которого нам пока неизвестны: q(x) = kx3 + mx2 + nx + s. Итак, bх4 + сх3 +dx2 + ех + f = (kx3 + mx2 + nx + s)(х - а) + r. (1) Раскрыв скобки в правой части тождества (1), получим: bх4 + сх3 +dx2 + ех + f = kx4 + ( m – ka)x3 + (n – ma)x2 + (s – na)x + r – sa. Неопределенные коэффициенты k, m, n, s, r связаны с известными коэффициентами a, b, c, d, e, f следующими соотношениями: Меню


Слайд 13

Пример. Найти корни уравнения х3 + 4х2 + х – 6 = 0. Решение: Находим делители свободного члена ±1; ± 2; ± 3; ± 6. Здесь, а = 1 (х - 1 = х – а), а коэффициенты многочлена-делимого равны соответственно 1, 4, 1, -6. Строим таблицу для применения схемы Горнера: Итак, коэффициенты частного – числа 1, 5, 6, а остаток r = 0. Значит, х3 + 4х2 + х – 6 = (х – 1) (х2 + 5х + 6) = 0. Отсюда: х – 1 = 0 или х2 + 5х + 6 = 0, х = 1 х 1 = -2; х2 = -3. Ответ: 1, -2, -3.


Слайд 14

Заключение Теорема Безу находит применение при рассмотрении одной из важнейших задач математики – решении уравнений. Схема Горнера же удобна тем, что при ее применении нужно использовать меньшее, чем при делении многочлена на многочлен «уголком», число арифметических операций, и вообще она более компактна. Данный материал можно использовать, на элективных курсах, на дополнительных занятиях при подготовке учащихся к ЕГЭ. Меню


Слайд 15

Список литературы 1 . «Математика 7», Г.В. Дорофеев, С.Б. Суворова, Москва «Просвещение», 2007. 2. «Математика 8», Г.В.Дорофеев С.Б. Суворова, Москва «Просвещение» 2006. 3. « Алгебра и начала математического анализа 11 кл».: В двух частях. Учебник и задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) / А.Г. Мордкович, П.В. Семенов. – М.: Мнемозина, 2009.


×

HTML:





Ссылка: