'

Квадратные корни

Понравилась презентация – покажи это...





Слайд 0

Квадратные корни Работа ученика 8 класса «Г» МОУ – Лицей № 2 Октябрьского района г.Саратова Маловецкого Максима. Руководитель Седова Вера Викторовна.


Слайд 1

Цель работы: Познакомить зрителей с определением квадратных корней. Познакомить зрителей с некоторыми теоремами, связанными с квадратным корнем. Узнать, где применяются квадратные корни.


Слайд 2

Определение квадратного корня


Слайд 3

Свойства квадратного корня: Величина корня не изменится, если его показатель увеличить в n раз и одновременно возвести подкоренное значение в степень n . Величина корня не изменится, если показатель степени уменьшить в n раз и одновременно извлечь корень n-й степени из подкоренного значения . Корень из произведения нескольких сомножителей равен произведению корней той же степени из этих сомножителей .


Слайд 4

Свойства квадратного корня: Обратно, частное корней равно корню от частного Чтобы возвести корень в степень, достаточно возвести в эту степень подкоренное значение Обратно, чтобы извлечь корень из степени, достаточно возвести в эту степень корень из основания степени


Слайд 5

Свойства квадратного корня: Обратно, произведение корней одной и той же степени равно корню той же степени из произведения подкоренных значений При условии равных показателей корней , корень от частного равен частному от деления корня из делимого на корень из делителя


Слайд 6

Квадратный корень Наверное много людей ,для того что бы извлеч квадратный корень применяют калькулятор. Но как известно на ЕГЭ применять калькулятор запрещено. Да и что делать если калькулятор остался дома? Оказывается что способы извлекать квадратные корни придумали еще в пятом веке до нашей эры, продолжают придумывать по сей день.


Слайд 7

Один из способов нахождения квадратных корней Я познакомлю вас со способом, который был изобретен в пятнадцатом веке. Сначала найдём случай, когда корень извлекается нацело. Например, v294849. Разобьём цифры, входящие в это число справа налево на группы по две цифры. Самую левую назовём первой, следующую – второй и так далее. Общее число образовавшихся групп определяет число цифр искомого корня.


Слайд 8


Слайд 9

Один из способов нахождения квадратных корней На место единиц ставим самую большую цифру а, для которой разность 448–10а х а положительна или равна нулю. Ясно, что в нашем случае это цифра 4. Заносим эту цифру в ответ. Умножаем 104 на 4 и записываем результат справа от вертикальной черты. Вычисляем разность: 448 – 416 = 32 и сносим к ней следующую группу. В результате получаем число 9249. Первая цифра находится как целочислительное значение корня из первой группы с недостатком. В нашем случае – это цифра 5. Записываем её в ответ. Затем возводим в квадрат, вычитаем из первой группы и сносим к результату вычитания в следующую группу. Если результат вычитания – нуль, то просто сносим следующую группу. Переходим к определению второй цифры. Для этого слева от полученного числа 448 проводим вертикальную прямую и записываем за ней на место десятков удвоенную первую цифру, в нашем случае это 2х5=10.


Слайд 10


Слайд 11

Один из способов нахождения квадратных корней Третья цифра находится так же, как и вторая: 54 х 2 и полученный результат (число 108) записываем слева от вертикальной черты на место десятков. На место единиц ставим самую большую цифру b, для которой разность 3249 – 108b х b положительна. Подбором убеждаемся, что b=3 эта разность равна нулю. Заносим b=3 в ответ. Умножаем 1083 на 3. Записываем результат справа от вертикальной черты и вычитаем его из 3249. Так как разность равна нулю, процесс вычисления корня окончен.


Слайд 12


Слайд 13

Один из способов нахождения квадратных корней Данный способ универсален. А значит с его помощью можно извлеч квадрат даже из 2.


Слайд 14

Способ извлечения квадратных корней С В Ивановой Извлечение квадратного корня — часто встречаю-чаяся операция при решении задач элементарной математики. Помимо традиционных способов на-ождения корней из натуральных чисел (например, изложение числа, стоящего под корнем, на множи-ели) можно также использовать и способ, основан-ный на применении формулы квадрата суммы. В основе этого способа лежит идея представле­ния vА в виде суммы двух слагаемых а + Ь, так, что квадрат первого слагаемого (а2) немного мень­ше А. При этом А = (а + Ь)2 = а2 + 2аЬ + Ь2 где а — некоторое фиксированное нами число и а2<А. Поскольку для пары произвольных натуральных чисел А и а, А > а2 справедлива теорема о деле­нии с остатком, то Если же А - квадрат натурального числа, для которого справедлива (1), то А-а2 = 2а ¦ Ь + Ь2 , Ь2 < 2а. (2) делитель частное остаток Таким образом, для извлечения квадратного кор­ня из числа А необходимо подобрать приближе­ние а такое, что по формуле (2) можно найти Ь. Описание алгоритма извлечения квадратного корня. А-а2 = 2а ¦ Ь + Ь2 , Ь2 < 2а. (2) делитель частное остаток Таким образом, для извлечения квадратного кор­ня из числа А необходимо подобрать приближе­ние а такое, что по формуле (2) можно найти Ь. Описание алгоритма извлечения квадратного корня. 1. Подбираем приближение а числа vа. Для этого находим число разрядов а по форму- ле где т — число разрядов А, а для определения старшего разряда числа а отбрасыва­ем четное число младших разрядов А так, чтобы остались один или два старших разряда. Обозначив полученное число выбираем однозначное чис­ло а1 такое, что а1, есть наибольшее из чисел, удовлетворяющих условию а2 < или = А1 В качестве старшего разряда берем а1 и получаем первое при-ближение в виде а1 0...О. Имея первое приближе- к цифр ние, подбираем точное приближение, при этом шаг приближения h определяется из условия: h2 < 2а (а2 < или = А).


Слайд 15

Способ извлечения квадратных корней С В Ивановой 2. Вычисляем А - а2. 3. Выполняем деление с остатком (в столбик) на число 2а. 4. Проверяем, является ли полученный остаток квадратом частного. Если нет, то исключаем возможность арифмети­ческой ошибки, проверяем правильность выбора приближения, после чего делаем вывод о том, что число А не является полным квадратом. Если же остаток является квадратом частного, то записыва­ем ответ: А = (а + Ь)2.


Слайд 16

Способ извлечения квадратных корней С В Ивановой Пример : Найдите число, квадратом которого является число 4096. Решение. 1) Так как т = 4, к =т + 1-2, то число разрядов а равно 2. Старший разряд числа а определяем из условия число разрядов а равно 2. Старший разряд числа а определяем из условия а1 <или =. 40, откуда следует, что а, = 6 и, значит, а = 60. 2) А - а2 = 4096 - 3600 = 496. 3) 496 120 480 16 4) Поскольку 16 = 42, то Ь = 4 и 4096 = (60 + 4)2 = 642.


Слайд 17

Теоремы, связанные с квадратным корнем Для квадратов чисел верны следующие равенства: 1 = 12 1 + 3 = 22 1 + 3 + 5 = 32 1 +3+5+7 = 42 и так далее.


Слайд 18

Квадратные корни К данному проекту я пришел не случайно. Началось все когда писал для себя таблицу квадратных корней. Заполняя таблицу я вдруг заметил закономерность “Разница между квадратными корнями равна сумме двух этих чисел’’ и решил доказать это убеждение.


Слайд 19

Теоремы, связанные с квадратным корнем Разница между квадратными корнями равна сумме двух этих чисел 9-4=5 2+3=5 16-9=7 3+4=7 25-16=9 5+4=9 v4 v9 и и и v9 v16 v16 Следовательно Разница между 2 “соседними” квадратными корнями равна сумме чисел из которых они образованы v25 22 и 32 32 и 42 Или 52 62 Или Или и (2n+1) 2 _ ( 2n)2=4n2+4n+1-4n2=2n+1+2n=4n+1


Слайд 20

Квадратные корни Я показал свою теорему нашему учителю математики В В Седовой, которой очень понравилась эта тема. Я начал делать по этой теме проект , и нашел ещё одну закономерность “Разница между квадрантными корнями 2 чисел, стоящих в порядковой разнице на 3 числа, РАВНА СУММЕ ЧИСЕЛ ИЗ КОТОРЫХ ОНИ ОБРАЗОВАНЫ И УДВОЕННОМУ ЧИСЛУ МЕЖДУ НИМИ ”.


Слайд 21

Теоремы, связанные с квадратным корнем Следовательно: ЧТд Разница между квадрантными корнями 2 чисел, стоящих в порядковой разнице на 3 числа, РАВНА СУММЕ ЧИСЕЛ ИЗ КОТОРЫХ ОНИ ОБРАЗОВАНЫ И УДВОЕННОМУ ЧИСЛУ МЕЖДУ НИМИ 16-4=12 2+3+3+4=2+(3*2)+4=12 25-9=16 3+(4*2)+5=3+8+5=16 36-16=20 4+6+5=20 И И И v4 v16 v9 v25 v36 v16 42 22 32 52 42 62 И И И


Слайд 22

Квадратные корни Доказательства теорем на бумаге мне показалось недостаточным, и так как я учусь в информационно-технологическом классе, я решил написать програмку-калькулятор которая позволила бы мне убедится в точности моей теоремы. Сейчас я вам её продемонстрирую.


Слайд 23

Выводы: Подавляющее число задач о пространственных формах и количественных отношениях реального мира сводится к решению различных видов уравнений. Овладевая способами их решения, мы находим ответы на различные вопросы из науки и техники (транспорт, сельское хозяйство, промышленность, связь и т. д.). Различные уравнения как квадратные, так и уравнения высших степеней решались нашими далекими предками. Эти уравнения решали в самых разных и отдаленных друг от друга странах. Потребность в уравнениях была велика. Уравнения применялись в строительстве, в военных делах, и в бытовых ситуациях.


Слайд 24

Список литературы 1 Научно-популярный физико- математический журнал “Квант”, - М., 1970. 2 Научно-теоретический и методидичекий журнал “ математика в школе”, - М.: Школьная Пресса,2003.


Слайд 25

Спасибо за внимание!


×

HTML:





Ссылка: