'

КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Понравилась презентация – покажи это...





Слайд 0

КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ Муниципальное образовательное учреждение средняя общеобразовательная школа №2 Автор разработки Чумичева И.Б., учитель математики


Слайд 1

Цель: образовательные: углубить знания по теме «Квадратные уравнения»,вывести и доказать формулы корней квадратного уравнения, сформулировать умения применять формулы в решении задач; развивающие: развивать умения в нахождении корней квадратного уравнения, абстрагировать и обобщать, развивать навыки самоконтроля; воспитательные: воспитывать волю и настойчивость для решения поставленной задачи


Слайд 2

1.Квадратные уравнения. Определение , примеры. 2.Неполные квадратные уравнения. 3.Метод выделения полного квадрата . Вывод формулы корней квадратных уравнений . Решение квадратных уравнений. 4.Приведённое квадратное уравнение. 5.Теорема Виета. 6.Теорема , обратная теореме Виета. 7.Разложение квадратного трёхчлена на множители. 8.Уравнения сводящиеся к квадратным. 9.Занимательные задачи. 10.Список используемого материала.


Слайд 3

Квадратным уравнением называется уравнение ax2+bx+c=0, где a,b,c- заданные числа, a?0. x- неизвестное, a- первый или старший коэффициент, b- второй коэффициент, с- свободный член. Например: х2+7x-24=0 4x2-x+5=0 2x2+6x=x2+3x+9 На главную о! Квадратное уравнение . Далее


Слайд 4

уравнение x2=d, где d>0, имеет два корня: x1=vd x2= -vd На главную т! Проверь себя №1 Пример: решите уравнение x2=25. Решение: x2=25 х1,2=±v25 x1= 5 x2 = - 5 Ответ: х1=5, х2= - 5


Слайд 5

Неполные квадратные уравнения. квадратное уравнение ax2+bx+c=0 называют неполным, если хотя бы один из коэффициентов b или c равен 0. ax2=0 , (b=c=0) ax2+c=0 , (b=0) а?0 ax2+b=0 , (c=0). Например: 3х2=0 х2-6х=0 9х2-81=0 (х2-9)/(х-3)=0 На главную о!


Слайд 6

Метод выделения полного квадрата. ax2+bx+c=0 , a ? 0 , /а На главную = -c a x2+ 2bx 2a + = х2+ +


Слайд 7

! Если b2-4ac?0, то: b2-4ac=D - дискриминант - мы вывели формулу корней квадратного уравнения.


Слайд 8

Пример: решите квадратное уравнение x2+2x-3=0 методом выделения полного квадрата. Решение: x2+2x-3=0 x2+2x=3 x2+2x+1=3+1 (x+1)2=4 , из этого следует : x+1=2 , или x+1=-2 , x1=1 x2= - 3 Ответ: х1=1, х2= - 3 На главную


Слайд 9

Формула квадратного уравнения . если b2-4ac<0, то уравнение ax2+bx+c=0 не имеет действительных корней, если b2-4ac>0, то уравнение ax2+bx+c=0 имеет два действительных корня, если b2-4ac=0, то уравнение ax2+bx+c=0 имеет два равных корня (x1=x2) ! На главную Проверь себя №2


Слайд 10

аx2+bx+c=0,если b-чётное число, b=2m , a?0 , m2-ac?0 На главную то Доказательство


Слайд 11

x2+px+q=0 – приведённое квадратное уравнение , (ax2+bx+c=0, где a=1) Любое квадратное уравнение аx2+bx+c=0 может быть приведённым , если разделить обе части на а , а?0 или о!


Слайд 12

Теорема Виета. Если x1и x2 - корни уравнения x2+px+q=0,то справедливы формулы : x1+x2=-p x1x2=q т.е. сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту , взятому с противоположным знаком , а произведение корней равно свободному члену. На главную т! Доказательство Далее


Слайд 13

Пример : один из корней уравнения x2-14x-15=0 положителен . Не решая уравнения , определить знак второго корня. Решение: По теореме Виета: x1x2= -15<0 , пусть x1>0 ( по условию ),тогда x2<0. Ответ : x2<0 На главную


Слайд 14

Теорема , обратная теореме Виета. т! Если числа p , q ,х1, x2 – таковы, что x1+x2=-p , x1x2=q , то x1 и x2 - корни уравнения x2+px+q=0. Доказательство: х2+px+q=0 х1+x2=-p , x2x1=q х2-x(x1+x2)+x1x2=x2-xx1-xx2+x1x2=x(x-x1)-x2(x-x1)=(x-x1)(x-x2), т.е. х2+px+q=(x-x1)(x-x2)


Слайд 15

Многочлен ax2+bx+c=0 , где а ? 0 , называют квадратным трёхчленом. Его можно разложить на множители способом группировки. Теорема: если x1 и x2 - корни квадратного уравнения ax2+bx+c=0 , то при всех x справедливо равенство: ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) На главную о! Доказательство Далее


Слайд 16

аx2+bx+c=a(x-x1)2 , если D=0 аx2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) , если D>0 Теорема: если квадратное уравнение ах2+bx+c=0 имеет корни х1 и х2 , то справедливо тождество ax2+bx+c=а(х-х1)(х-х2). В случае , когда уравнение имеет лишь один корень х1 , справедливо тождество ax2+bx+c=a(x-x1)2 . Если уравнение не имеет корней , то квадратный трёхчлен ax2+bx+с не разлагается на множители . На главную т! Проверь себя №4


Слайд 17

Уравнения , сводящиеся к квадратным. о! Уравнение ax4+bx2+c=0 , где а?0 , называют биквадратным. Решите биквадратное уравнение: 9х4+5х2-4=0. Решение: пусть х2=t , тогда x4=t2 , отсюда: 9t2+5t-4=0 D=25+4?4?9=169 t1=-1 , t2=8/18=4/9 x2= -1- не может быть x2=4/9 из этого следует x1,2=±2/3 Ответ: х1,2= ± 2/3 На главную


Слайд 18

Решите уравнение: , О.Д.З.:х ?-2 , х ?3 Решение : , |? (х+2)(х-3), получим: 3(х-3)-4(х+2)=3(х+2)(х-3) 3х-9-4х-8=3х2+6х-9х-18 -х-17=3х2-3х-18 3х2+х+17-18-3х=0 3х2-2х-1=0 х1=1 х2=-1/3 Ответ: х1=-1/3 и х2=1 На главную


Слайд 19

Решите уравнение: О.Д.З.:х?1 и х?2 Решение: умножим данное уравнение на (х-1)(х-2) 1+3(х-2)=(3-х)(х-1) 1+3х-6=3х-3-х2+х 1-6-х+х2+3=0 х2-х-2=0 х1,2=1/2±3/2 х1=2 х2=-1 х1=2-не подходит по О.Д.З. Ответ : х=-1. Корень х=2 - посторонний . При решении уравнения , содержащего неизвестное в знаменателе дроби , необходима проверка. На главную


Слайд 20

Решите уравнение: Решение: х2+7х+12=0 х1,2=-7/2±1/2 х1=-4 и х2=-3 , х2+7х+12=(х+4)(х+3) , |?(х+4)(х+3) О.Д.З.:х?-4 , х?-3;получим: (х+7)(х+3)-(х+4)+1=0 х2+7х+21+3х-х-4+1=0 х2+9х+18=0 х1,2=-9/2±3/2 х1 = -6 х2=-3 – не подходит по О.Д.З. Ответ: х = -6 На главную


Слайд 21

На главную 1.Стая обезьян. 2.Ряд чисел. 3.Пчелиный рой. 4.Какие числа? 5.Интересное о дискриминанте. 6.Квадратное уравнение. 7.Теорема Виета. Занимательные задачи.


Слайд 22

На две партии разбившись, Забавлялись обезьяны. Часть восьмая их в квадрате В роще весело резвилась; Криком радостным двенадцать Воздух свежий оглашали. Вместе сколько, ты мне скажешь , Обезьян там было в роще? Решение Стая обезьян.


Слайд 23

Решение: решим эту задачу с помощью уравнения. Пусть х обезьян было в роще , тогда по условию (х/8)2+12=х. Решим это уравнение (х/8)2+12=0 1/64х2-х+12=0 , умножим это уравнение на 64 и получим: х2-64х+768=0 х1,2=32± v1024-768 х1,2=32± v256 х1=32+16=48 х2=32-16=16 Ответ: в роще было 16 или 48 обезьян.


Слайд 24

Задание: Записать ряд из пяти последовательных чисел , сумма квадратов первых трёх из которых равна сумме квадратов двух последних . Решение: Пусть х – первое число , тогда : х2+(х+1)2+(х+2)2=(х+3)2+(х+4)2 х2+х2+2х+1+х2+4х+4=х2+6х+9+х2+8х+16 х2+1+4– 9 –8х – 16=0 х2 – 8х – 20=0 х1,2=4± v16+20 х1=4+6=10 х2=4–6 Ответ: существует два ряда чисел , обладающих требуемым свойством : 1 ряд : 10;11;12;13;14. 2 ряд : - 2; - 1;0;1;2.


Слайд 25

Пчёлы в числе , равном квадратному корню из половины всего их роя , сели на куст жасмина , оставив позади себя 8/9 роя . И только одна пчёлка из того же роя кружится возле лотоса , привлечённая жужжанием подруги , неосторожно попавшей в западню сладко пахнущего цветка . Сколько всего было пчёл в рое? Решение Пчелиный рой.


Слайд 26

Решение: Пусть всего пчёл было х , тогда : Решим это уравнение: vх/2=у , х=2у2 у+ +2=2у2 – |? 9; 9у+16у2+18-18у2=0 9у-2у2+18=0 – |? (-1) 2у2-9у-18=0 D=81+4?2?18=81+144=225 у1,2= у1=-6/4 у2=6 х1=2(-6/4)2=2(-3/2)2=2?9/4=4,5 , но число пчёл – натуральное, следовательно 4,5 – не подходит. х2=2?62=2?36=72 Ответ: всего было 72 пчёл в рое .


Слайд 27

Задание: найти три последовательных числа , отличающихся тем свойством , что квадрат среднего на 1 больше произведения двух остальных . Решение: (х-1) и х и (х+1) х2 - (х-1)(х+1)=1 х2-х2+1=1 Ответ : можно взять любы последовательные числа. Какие числа?


Слайд 28

Если вам скажут :“ Квадратное уравнение , дискриминант которого меньше нуля , не имеет решения ” , можете уточнить : “ Не имеет решения в действительных числах , в комплексных же имеет целых два ”. Пример: х2–2х+5=0 х1,2=1± v (1-5 ) х1,2=1± v (- 4 ) х1=1+2i x2=1– 2i Ответ: х1=1+2i x2=1–2i


Слайд 29

Задание: в уравнении 4х2–15х+4m2=0 , найти m так , чтобы один корень был квадратом другого . Решение: х1=х22 (4m2)/4=х?х2 , значит m2=x3 , m=± v(x3)=±x v(x) . х+х2=15/4 х =(15–4х2)/4 4х=15–4х2 4х2+4х–15=0 х1,2=(–2± v4+4?15 )/4 х1,2=(-2±8)/4 х1=-10/4 – не натуральное число под корнем . х2=6/4=3/2 m=±3/2 v(3/2) Ответ: m=±3/2 v(3/2)


Слайд 30

Задание: найти сумму квадратов корней уравнения ax2+bx+c=0 , не находя его корней. Решение: x1+х2=- b/x x1?x2 =c/a x2+bx/a+c/a=0 x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=(-b/a)2-2c/a=b2/a2-2c/a=(b2-2ac)/a2 Ответ:х12+х22=(b2-2ас)/а2


Слайд 31

Проверь себя №1. 1.Как будет выглядеть квадратное уравнение , если известны его коэффициенты а=2 , b=7 , с=-1 ? 1)2х2+7х+1=0 2)2х2+7х – 1=0 3)7х2+2х – 1 =0 2.Найдите корни уравнения х2=289 . Какой из них является арифметическим? 1)х=17 , это арифметический корень 2)х= -17 , это арифметический корень 3)х1=17, это арифметический корень ; х2=-17 3.Решите уравнение х2= – 16 1)х1,2=±4 2)х= –4 3) нет действительных корней


Слайд 32

Проверь себя №2. 1.Чему равен дискриминант уравнения 2х2+3х+1=0 1)D=9 2)D=17 3)D=1 2.Не решая уравнения 4х2– 7х –2=0 , скажите , сколько корней оно имеет ? 1)данное уравнение имеет один корень 2)данное уравнение имеет два действительных корня 3)данное уравнение не имеет действительных корней 3.Продолжите фразу :» Если дискриминант меньше нуля , то …» 1)уравнение не имеет решения 2)уравнение не имеет действительных корней 3)уравнение имеет два равных корня


Слайд 33

Проверь себя №3. 1.Один из корней уравнения х2 –15х +14=0 равен 1 .Чему равен второй корень ? 1) 14 2) 15 3) –15 2.Не решая уравнения х2+2х – 80=0 , найдите сумму и произведение его корней . 1)х1+х2= – 80 ; х1х2 =2 2)х1+х2= – 2 ; х1х2= – 80 3)х1+х2= 80 ; х1х2 =2 3.Как будет выглядеть приведённое квадратное уравнение , если известны его корни : х1=5 , х2=2 ? 1)х2–7х +10=0 2)х2+10х +7=0 3)х2–7х –10=0 Назад


Слайд 34

Проверь себя №4. 1.Если 2х2+х-3=2(х-1)(х+3/2) ,то какие корни будет иметь уравнение 2х2+х-3=0 ? 1)х1=-1 ,х2=-3/2 2)х1=-1 ,х2=3/2 3)х1=1 ,х2=-3/2 4)х1=1 ,х2=3/2 2.Разложите на множители квадратный трёхчлен х2- 15х+26 , если решением уравнения х2 - 15х+26 =0 являются корни х1=13 , х2=2 1)(х+13)(х+2) 2)(х-13)(х+2) 3)(х-13)(х-2) 4)(х+13)(х-2)


Слайд 35

ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ Проверь себя №1


Слайд 36

ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ Проверь себя №2


Слайд 37

ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ Проверь себя №3


Слайд 38

ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ Проверь себя №4


Слайд 39

НЕПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ Проверь себя №1


Слайд 40

НЕПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ Проверь себя №2


Слайд 41

НЕПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ Проверь себя №3


Слайд 42

НЕПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ Проверь себя №4


Слайд 43

Доказательство: ax2+bx+c=0 ax2+2mx+c=0 D=4m2-4ac=4(m2-ac)


Слайд 44

Доказательство: х1= -p/2 + v (p/2)2-q + х2= -p/2 - v(p/2)2-q х1+x2=-2p/2=-p , x1+x2=-p х1x2=(-p/2)2=(v(p/2)2-q)2=(p/2)-(p/2)2+q2=q , x1x2=q


Слайд 45

Доказательство: Пр. часть a(x-x1)(x-x2)=ax2-axx2-axx1+ax1x2=ax2-а(х1+х2)х+ах1х2 х1 и x2 – корни уравнения ax2+bx+c=0, т.е. уравнения x2+bx/a+c/а=0,то по теореме Виета x1+x2=-b/а , x1x2=c/а из этого следует: ax2-a(-b/a)x+ac/а=ах2+bx+c , что и требовалось доказать.


Слайд 46

Доказательство: х2=d, d>0 х 2- d=0 d=(vd)2 x 2– (vd )2 =0 (x - vd)(x +vd)=0 x1=vd x2=-vd ,что и требовалось доказать.


Слайд 47

Список используемого материала: 1. “Алгебра 8 класс” Виленкин Н.Я. Москва “Просвещение” 2001год 2. “Алгебра 8 класс” Алимов Ш.А. Москва “Просвещение” 1994 год 3.Энциклопедия для детей “ Математика” том 11 Москва “Аванта+” 1998 год 4.“Сборник задач московских математических олимпиад ” Г.И.Зубелевич 5.http://office.microsoft.com – картинки 6. “Информатика в видеосюжетах” Л.Ф.Соловьёва Санкт-Петербург “БХВ-Петербург” 2002 год


×

HTML:





Ссылка: