'

Геометрия, 10 класс

Понравилась презентация – покажи это...





Слайд 0

Геометрия, 10 класс Тема: Построение сечений многогранников методом параллельных проекций Воробьев Леонид Альбертович, г.Минск


Слайд 1

Вспомним, что при параллельном проектировании в пространстве используют такие понятия как: плоскость проекций (любая плоскость ?), направление параллельного проектирования (любая прямая m??). m ?


Слайд 2

Рассматривая любую геометрическую фигуру как множество точек, можно построить в заданной плоскости проекцию данной фигуры. Для этого выбирают любую точку фигуры A (прообраз) и строят ее параллельную проекцию на плоскость A’ (образ). А А’ m ?


Слайд 3

Таким образом можно получить изображение (или «проекцию») любой плоской или пространственной фигуры. (см.рис.) m ?


Слайд 4

Пример 1. Постройте сечение треугольной призмы ABCA’B’C’, проходящее через точки M, N и K, лежащие в боковых гранях A B C C’ B’ M N K M’ K’ N’ Решение. Построим проекции данных трех точек M, N и K на плоскость основания в направлении, параллельном боковому ребру. 2) Соединим две любые данные точки (например, M и K). 3) Построим образ полученного в п.2) отрезка MK. A’


Слайд 5

A B C A’ B’ M N K M’ K’ N’ 4) Соединим отрезком точки N’ и C, обозначив буквой F’ точку пересечения с отрезком M’K’. 5) Так как F’?M’K’, то прообраз этой точки F?MK. Построим ее. 6) Прямые NN’ и CC’ лежат в одной плоскости (подумайте почему?). Построим в этой плоскости точку R=CC’?NF. 7) В боковых гранях ACC’ и BCC’ у нас появились по две точки, принадлежащие сечению, поэтому закончить построение сечения RST нетрудно. F’ F R S T C’


Слайд 6

Основной целью применения метода параллельных проекций является получение дополнительной точки сечения (обычно на одном из боковых ребер). Для этого можно воспользоваться следующей схемой (пояснения – из примера 1): 1) нужно выбрать любую пару из данных точек сечения; (M и K) A C A’ C’ B’ M N K M’ K’ N’ F’ R S T 2) построить их проекции на основание призмы; (M’ и K’) 3) направление параллельного проектирование выбирается параллельно боковым ребрам; (AA’) 4) сначала получить образ вспомогательной точки в плоскости проекций (для этого привлекают образы данных точек сечения и одну из вершин основания призмы); (точка F’, вершина – С) 5) найти прообраз вспомогательной точки; (точка F) 6) получить дополнительную точку сечения; (точка R). F Запишите схему в тетрадь!


Слайд 7

Примечание. Еще раз обратите внимание на термин «любые» в п.2) примера 1. Попробуйте самостоятельно, по схеме, в тетради построить сечение из примера 1, соединяя две другие пары точек: M и N или N и K. Убедитесь в однозначности получающегося результата (сечение получается таким же). A’ A B C C’ B’ M N K M’ K’ N’ F’ F R S T A B C A’ C’ B’ M N K M’ K’ N’ F’ F R S T Дополнительная точка T Дополнительная точка S


Слайд 8

Пример 2. Построить сечение четырехугольной призмы ABCDA’B’C’D’, проходящее через точки M?AA’, N ?(BCC’) и K?(CDD’). A A’ B B’ C C’ D D’ M N K P Q R Наблюдая за ходом построения сечения, составьте алгоритм по предложенной выше схеме. N’ K’ F F’ Четырехугольник MPQR – искомое сечение.


Слайд 9

M K M’ K’ Пример 3. Построить сечение треугольной призмы ABCA’B’C’, заданное тремя точками М?ABB’, N?ACC’ и K?BCC’. Решение. Как мы видим, никакие из трех точек сечения не лежат в одной грани призмы. Значит, метод «следа» нам не подходит. Проследим поэтапное применение метода параллельных проекций для построения сечения в данном случае. 1) Построим образы M’, N’ и K’ данных точек при параллельном проектировании в направлении, параллельном боковому ребру призмы на ее нижнее основание. A B C A’ B’ C’ N N’


Слайд 10

M N K’ P’ L 2) Изобразим отрезок N’K’ как образ отрезка NK. 3) Найдем точку P’ пересечения отрезков M’C и N’K’. 4) Так как P’?N’K’, то прообраз этой точки P?NK. Построим ее. 5) Теперь изобразим прообраз отрезка M’C ? отрезок ML, где L=MP?CC’. 6) Точка L принадлежит плоскости сечения (MNK), значит, дальше можно воспользоваться методом «следа». A A’ B’ C B P M’ C’ K N’


Слайд 11

M L E D K’ A B C P P’ N’ F G A’ B’ В итоге получили искомое сечение – пятиугольник FELDG! Итак, наша цель в построении сечения была достигнута благодаря появлению дополнительной точки L. K M’ C’ N При применении метода «следа» получим точку U. После чего закончить построение сечения нетрудно. U


Слайд 12

M N K Примечание. В качестве плоскости проекции можно выбирать любое основание призмы. Применяя вышеописанный алгоритм неоднократно можно обойтись без метода «следа». Пример 4.


Слайд 13

Плоскость сечения может задаваться: 1) тремя точками, не лежащими на одной прямой; 2) прямой и точкой, не лежащей на ней; 3) двумя пересекающимися прямыми; 4) двумя параллельными прямыми. Все эти случаи можно свести к первому, выбирая на прямых удобные для нас точки. A A’ B B’ C C’ D K D’ Пример 5. Постройте сечение 4-угольной призмы, в основании которой произвольный 4-угольник, проходящее через диагональ и точку в противоположных боковых гранях.


Слайд 14

Решение. Выберем на диагонали две точки B и A’. Построим сечение, проходящее через три точки K, B и A’. При параллельной проекции на нижнее основание призмы образами этих точек являются точки K’, B и A. A A’ B B’ C C’ D M N K K’ F F’ Проведем отрезок A’K и построим его образ – отрезок AK’. Соединим точки B и D, отмечая точку F’ пересечения его с AK’. Найдем прообраз точки F’. Отметим дополнительную точку M=BF? DD’. Получим сечение призмы A’MNB, последовательно соединяя полученные точки. D’


×

HTML:





Ссылка: