'

Квадратные уравнения

Понравилась презентация – покажи это...





Слайд 0

Квадратные уравнения


Слайд 1

Квадратное уравнение Квадратным уравнением называется уравнение вида ах2 + bx + c = 0, где а, b, с – числа, а ? 0, х – неизвестное. 3х2 - 2x + 7 = 0; -3,8х2 + 67 = 0; 18х2 = 0 . Квадратное уравнение называют еще уравнением второй степени с одним неизвестным.


Слайд 2

Коэффициенты квадратного уравнения Числа а, b и с называют коэффициентами квадратного уравнения. ах2 + bx + c = 0, старший второй свободный коэффициент коэффициент член 3х2 + 4x - 8 = 0, старший второй свободный коэффициент коэффициент член


Слайд 3

Неполное квадратное уравнение Квадратное уравнение, в котором хотя бы один из коэффициентов b или с равен нулю, называется неполным. -11х2 = 0; 5х2 + 13х = 0; -24х2 +1 = 0.


Слайд 4

Виды неполных квадратных уравнений и их корни ах2 + c = 0, где с ? 0. Тогда Если ,то корни . а) б) -х2-4 = 0 х2 = -4 нет корней. Если , то корней нет .


Слайд 5

Виды неполных квадратных уравнений и их корни 2. ах2 + bx = 0, где b ? 0. Тогда x • (ax +b) = 0. Корни: х1 =0 и х2 = . а) 2х2 + 7x = 0 x • (2x +7) = 0 х = 0 или 2х + 7 = 0, т.е. х = . Ответ: 0 и -3,5. б) -х2 + 5x = 0 -x • (x - 5) = 0 х = 0 или х = 5. Ответ: 0 и 5.


Слайд 6

Виды неполных квадратных уравнений и их корни 3. ах2 = 0 Имеем единственный корень х = 0 . 128х2 = 0 х2 = 0 х = 0. -3,8х2 = 0 х2 = 0 х = 0.


Слайд 7

Метод выделения полного квадрата Решить уравнение х2 + 14x + 24 = 0. Решение. х2 + 14x + 24 = (х2 + 14x + 49) – 49 + 24 = = (х + 7)2 – 25. (х + 7)2 – 25 = 0, (х + 7)2 = 25. х + 7 = -5 или х + 7 = 5. х1 = -12; х2 = -2. Ответ: -12; -2.


Слайд 8

Формула корней квадратного уравнения Корни квадратного уравнения ах2 + bx + c = 0 можно найти по формуле , где D = b2 – 4ac - дискриминант квадратного уравнения.


Слайд 9

Формула корней квадратного уравнения Возможны 3 случая: 1. D > 0. Тогда уравнение имеет 2 различных корня: , . 2х2 + 7x - 4 = 0. a = 2, b = 7, c = -4. D = 72 – 4 • 2 • (-4) = 81 > 0, , .


Слайд 10

Формула корней квадратного уравнения 2. D = 0. Тогда уравнение имеет единственный корень: х2 - 4x + 4 = 0. D = (-4)2 – 4 • 1 • 4 = 0, .


Слайд 11

Формула корней квадратного уравнения 3. D < 0. Тогда уравнение не имеет корней, т. к. не существует . 3х2 - x + 7 = 0. D = (-1)2 – 4 • 3 • 7 = -83 < 0, значит корней нет.


Слайд 12

Корни квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом Если b = 2k, то корни уравнения ах2 + 2kx + c = 0 находятся по формуле , где .


Слайд 13

Корни квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом Решить уравнение 1. х2 + 18x + 32 = 0. а = 1; b = 18 k = b : 2 = 9; c = 32. D1 = D : 4 = (18 : 2) – 1 • 32 = 49 > 0, значит уравнение имеет 2 корня:


Слайд 14

Корни квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом Решить уравнения 2. 3х2 + 2x + 1 = 0. а = 3; b = 2 k = b : 2 = 1; c = 1. D1 = D : 4 = 12 – 1 • 3 = -2 < 0, значит корней нет. 3. 196х2 - 28x + 1 = 0. а = 196; b = -28 k = b : 2 = -14; c = 1. D1 = D : 4 = (-14)2 – 196 = 0, значит уравнение имеет 1 корень .


Слайд 15

Приведенное квадратное уравнение Приведенное квадратное уравнение – это уравнение вида х2 + px + q = 0. х2 + 14x + 24 = 0. Для каждого квадратного уравнения можно записать равносильное ему приведенное уравнение, разделив обе части квадратного на старший коэффициент. 5х2 + 3x - 2 = 0 х2 + 0,6x – 0,4 = 0.


Слайд 16

Формула корней приведенного квадратного уравнения х2 + px + q = 0. х2 - x - 6 = 0. p = -1, q = -6,


Слайд 17

Теорема Виета Теорема. Если х1 и х2 – корни приведенного квадратного уравнения х2 + px + q = 0, то х1 + х2 = -р х1 • х2 = q х1 = -1; х2 = 3 – корни уравнения х2 - 2x - 3 = 0. р = -2, q = -3. х1 + х2 = -1 + 3 = 2 = -р, х1 • х2 = -1 • 3 = q. формулы Виета


Слайд 18

Теорема Виета для квадратного уравнения общего вида Теорема. Если х1 и х2 – корни квадратного уравнения а х2 + bx + c = 0, то х1 = 1,5; х2 = 2 – корни уравнения 2 х2 - 7x + 6 = 0. х1 + х2 = 3,5, х1 • х2 = 3.


Слайд 19

Теорема, обратная теореме Виета Теорема. Если числа х1, х2, р и q связаны условиями х1 + х2 = -р х1 • х2 = q то х1 и х2 – корни приведенного квадратного уравнения х2 + px + q = 0. Составим квадратное уравнение по его корням Искомое уравнение имеет вид х2 - 4x + 1 = 0.


Слайд 20

Квадратный трехчлен Квадратным трехчленом называется многочлен вида а х2 + bx + c, где а, b, с – числа, а ? 0, х – переменная. 3х2 - 2x + 7; Корни квадратного трехчлена а х2 + bx + c – это корни уравнения а х2 + bx + c = 0 .


Слайд 21

Разложение квадратного трехчлена на линейные множители Теорема. Если х1 и х2 – корни квадратного трехчлена а х2 + bx + c, то а х2 + bx + c = а(х - х1)(х - х2 ). Разложить на множители 12 х2 - 5x - 2. - корни уравнения 12 х2 - 5x – 2= 0. Значит 12 х2 - 5x – 2 =


Слайд 22

Неприводимый многочлен Если квадратный трехчлен ах2 + bx + c не имеет корней, то соответствующий многочлен (со старшим коэффициентом 1) называется неприводимым многочленом второй степени (так как его невозможно разложить на множители меньшей степени). Квадратный трехчлен 5х2 + 3x + 2 не имеет корней. Его невозможно разложить на множители первой степени. Можно вынести числовой коэффициент за скобки 5х2 + 3x + 2 =5(х2 + 0,6x + 0,4).


Слайд 23

Уравнения, содержащие неизвестное в знаменателе Схема решения: Найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение. Умножить обе части уравнения на общий знаменатель. Решить получившееся уравнение. Исключить из его корней те числа, которые обращают в нуль общий знаменатель.


Слайд 24

Уравнения, содержащие неизвестное в знаменателе Общий знаменатель: (t + 1)(t - 2). Умножим на него обе части уравнения: t(t – 2) – (t +2)(t + 1) = 1•(t + 1)(t – 2) t2 – 2t – t2 – 3t – 2 = t2 – t – 2 t2 + 4t = 0 t(t + 4) = 0 t1 = 0, t2 = -4. Ни одно из чисел не обращает в нуль общий знаменатель. Ответ: 0; -4.


Слайд 25

Уравнения, содержащие неизвестное в знаменателе Общий знаменатель: х(х – 3)(х + 3) . Тогда: 2х – (х – 3) = (6 – х)(х – 3) х2 – 8х + 15 = 0 х1 = 3 – посторонний корень, так как при х = 3 общий знаменатель х(х – 3)(х + 3) = 0. х2 = 5 – корень. Ответ: 5.


Слайд 26

Биквадратные уравнения Уравнение вида ах4 + bx2 + c = 0, где а ? 0, b и с - заданные числа, называется биквадратным. 9х4 + 17х2 - 2 = 0 Заменой х2 = t сводится к квадратному уравнению. 9t2 + 17t - 2 = 0 Ответ: . Нет корней или или


Слайд 27

Решение уравнений методом замены неизвестного Нет корней Ответ: 43.


Слайд 28

Модуль Модуль числа х – это расстояние от начала отсчета до точки х на координатной прямой. |x| = 6 означает, что расстояние от начала отсчета до точки х равно 6. а, если а > 0 |а| = -а, если а < 0 0, если а = 0 6 6


Слайд 29

Уравнения, содержащие неизвестное под знаком модуля | х2 - 2х - 39| = 24. х2 - 2х - 39 = 24 х2 - 2х - 39 = -24 х1 = 9; х2 = -7 х3 = -3; х4 = 5. Ответ: 1,6; 1; -1; 6/11.


Слайд 30

Уравнения, содержащие неизвестное под знаком модуля 9х2 - = 0. x > 0, x < 0, 9х2 - = 0 9х2 - = 0. x > 0, x < 0, 9х2 – 1 = 0 9х2 + 1 = 0. нет решений Ответ: .


Слайд 31

Уравнения, содержащие неизвестное под знаком модуля Модули двух чисел равны тогда и только тогда, когда эти числа равны или противоположны. |8х2 - 4х + 1| = |3х2 + 9х - 7|. 8х2 - 4х + 1 = 3х2 + 9х – 7 8х2 - 4х + 1= –(3х2 + 9х – 7) х1 = 1,6; х2 = 1 х3 = -1; х4 = 6/11. Ответ: 1,6; 1; -1; 6/11.


×

HTML:





Ссылка: