'

Методы решения задач на нахождение наибольшего и наименьшего значения величин. (задания для учащихся 8-9 классов, углубленное изучение математики)

Понравилась презентация – покажи это...





Слайд 0

Методы решения задач на нахождение наибольшего и наименьшего значения величин. (задания для учащихся 8-9 классов, углубленное изучение математики) Чупрова О.С. Комсомольск-на-Амуре МБОУ лицей №1 2012 год


Слайд 1

Алгоритм изучения темы Знакомство с понятиями прикладных задач математики. Схема решения оптимизационных задач. Теоремы, применяемые при решении таких задач. Методы решения оптимизационных задач: применение некоторых теорем; использование свойств квадратного трехчлена; применение неравенства Коши.


Слайд 2

Знакомство с понятиями прикладных задач математики. Задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значений какой-либо величины, часто применяемые в практической деятельности, называются оптимизационными. Для правильного решения таких задач необходимо выполнить их переформулировку, стремясь формализировать условия, первоначально заданные в описательной форме.


Слайд 3

Схема решения оптимизационных задач Проанализировав условие задачи, определить, наибольшее или наименьшее значение какой величины требуется найти (т.е. какую величину нужно оптимизировать). Принять за независимую переменную одну из неизвестных величин и обозначить её буквой x. Определить её границы изменения. Задать функцию y=f(x). Найти средствами математики наибольшее или наименьшее значение на промежутке изменения х. Интерпретировать результат для рассматриваемой задачи.


Слайд 4

Пример решения оптимизационных задач. Число 36 записать в виде произведения двух натуральных чисел, сумма которых наименьшая. Пусть х – первый множитель, тогда ???? х – второй множитель, где 1<x<36. Составим функцию f(x)=х+ 36 х . Анализируя, приходим к выводу, что при х=6 составленная функция принимает наименьшее значение (6+6=12) Ответ: 36=6·6


Слайд 5

Теоремы и следствия из них для решения оптимизационных задач . Теорема 1 Произведение двух положительных множителей, сумма которых постоянна, имеет наибольшее значение при равенстве множителей (если множители могут иметь равные значения). Т.е. max xy=? (х+у) ?? Следствие. Произведение двух положительных сомножителей х и у, связанных соотношением mx+ny=a, где m,n-положительные числа, будет наибольшим при mx=ny=a, т.е. при x=a/m; y=a/n. Теорема 2 Сумма двух положительных слагаемых, произведение которых постоянно, имеет наименьшее значение при равенстве слагаемых. Следствие. Если произведение ху постоянно, то mx+ny, где m,n-положительные числа, имеет наименьшее значение при mx=ny.


Слайд 6

Доказательство теорем Теорема 1 Рассмотрим равенство, которое следует из формул сокращенного умножения, т.е. ху = 1 4 ((х+у) 2 - (х?у) 2 ).(По условию х+у- постоянно). Произведение ху будет наибольшее при наименьшем значении (х?у) 2 , т.е. при х=у. Отметим, что ху = 1 4 (х+у) 2 . Теорема 2 Из тождества (х+у) 2 = (х?у) 2 +4ху ясно, что (х+у) 2 , а значит и х+у будет наибольшим, если х-у=0. Теоремы 1 и 2 могут быть обобщены на большее число слагаемых. Теорема 3 произведение нескольких переменных положительных сомножителей, сумма которых постоянна, достигает наибольшее значение при равенстве сомножителей (если только множители могут принимать равные значения). Теорема 4 Если произведение положительных сомножителей х ??, х ??, …, х ?? постоянно, то их сумма будет наибольшей, если они равны между собой.


Слайд 7

Решение оптимизационных задач с применением доказанных теорем Задача №1 Найти наибольшее значение функции y=x?(a-x), если 0<x<a. Решение Т.к. сумма x?+a-х не является постоянной, то перепишем функцию в виде у = 1 3 (х·x·x(3a-3x)) Функция принимает наибольшее значение в том случае, если функция z= х·x·x(3a-3x) принимает наибольшее значение. Найдем сумму сомножителей: х+х+х+3a-3х=3a – не зависит от х, поэтому является постоянной. По теореме 3 функция z=x?(3a-3x)( а, значит, у= 1 3 z) принимает наибольшее значение в том случае, если х=3a-3x. Это получается при х= a 4 . Mаx y=y( a 4 ) = ( a? 4 ) ·(a- a 4 ) = 3 a 4 256 .


Слайд 8

Задача №2. Даны две параллельные прямые и точка А между ними, служащая вершиной прямого угла прямоугольного треугольника, у которого две другие вершины лежат на каждой из прямых. Какое положение должен занимать треугольник, чтобы его площадь была наибольшей? 1) Пусть ДЕ- перпендикуляр к данным прямым. Обозначим АД=а, АЕ=b, ЕС=х. Рассмотрим ? АВС, удовлетворяющий условию задачи. 2) Построим математическую модель задачи. Пусть ЕС=х. Т.к. ? АВС – прямоугольный и проведен перпендикуляр, то ?ЕСА+ ? ЕАС=90° и ? ЕАС+ ? BAД=90°, поэтому ? ЕСА= ? BAД и ? ЕАС= ? АВД =>?EAC??ДАВ, поэтому АС ЕС = АВ АД => АС х = АВ а => АС? х = АС·АВ а Отсюда S АВС =?AC·AB=? а·АС? х = а 2х (b?+x?)= а 2 ( b? х +х). Т.к. а и b- постоянные, то S АВС будет наибольшим, если b? х +х будет принимать наибольшее значение. Т.о. требуется найти такое х>0, где у= b? х +х принимает наибольшее значение. Т.к. b? х ·х =b?(не зависит от х). Отсюда min S будет при х=b, т.е.ВД=а. Т.о. наибольшее значение площади будет тогда и только тогда, когда ?EAC и ?ДАВ равнобедренные и прямоугольные. А Е С В Д


Слайд 9

Теорема об использовании свойств квадратного трехчлена Преобразуем квадратичную функцию y=аx?+bx+c = а(x?+ bx а ) +с = а(x?+ 2 b 2а х + b? 4а? - b? 4а? )+с = а(х+ b 2а )? + 4ас?b? 4а . Отсюда следует теорема: а) если а>0, то функция y=аx?+bx+c при х=- b 2а принимает наименьшее значение, равное 4ас?b? 4а ; б)если а<0, то функция y=аx?+bx+c при х=- b 2а принимает наибольшее значение, равное 4ас?b? 4а .


Слайд 10

Решение задач с использованием свойств квадратного трехчлена Пример №1 Найти наименьшее и наибольшее значения функции у= ??х ??+х? . решение Дана не квадратичная функция. Поэтому рассмотрим более общую задачу: найти множество значений функции Т.е. переформулируем задание: «При каких у уравнение у= ??х ??+х? относительно х имеет решение?". (у= ??х ??+х? )<=>(x?y-2x+y=0). У=0 только при х=0. Пусть у?0. Квадратное уравнение уx?-2x+y=0 в этом случае имеет решение тогда и только тогда, когда D?0. (D?0) <=>(4-4уу ?0) <=>((y??1) <=>(-1 ?y?1) . Тогда множество значений данной функции совпадает с отрезком[-1;1]. Отсюда получаем: min y=y(-1)=-1; max y=y(1)=1.


Слайд 11

Пример №2. На плоскости даны три точки А,В,С, не лежащие на одной прямой. Найти на прямой ВС такую точку М, сумма квадратов расстояний которой до А,В и С была бы наименьшей. Решение. Проведем АД? ВС и введем обозначения АД=а, ВД=b, ДС=с (а, b и с считать неизвестными) МД=х, у=АМ?+BM?+CM?, отсюда АМ?= АД?+MД?=x?+а?; ВМ?=(ВД-МД)?=(b-x)?; МС?=(c+x)?. Получили выражение для у: y=(a?+x?)+(b-x)?+(c+x)?=3x?-2(b-c)x+b?+c? - это квадратичная функция. Преобразуем её: У=3(х - (b?c)? 3 )?+ a?+b?+c? - (b?c)? 3 . При х= (b?c)? 3 функция имеет наименьшее значение, равное a?+b?+c? - (b?c)? 3 . А В С Д М


Слайд 12

Классическое неравенство Коши Теорема. Если а?, а?, …, а n ?неотрицательные числа, то а?+а?+ …+ а n n ? n а?·а?·… ·а n , при этом равенство выполняется тогда и только тогда, когда а?=а?=…= а n . Частный случай: а+в 2 ? ав .


Слайд 13

Применение неравенства Коши Из всех равновеликих треугольников найти треугольник наименьшего периметра. Пусть х, у, z - стороны треугольника, тогда имеет место : x+y+z= 3 4 ( x+y+z 3 + x+y?z 1 + x?y+z 1 + ?x+y+z 1 ). Каждое из выражений в скобках положительно, поэтому к числам x+y+z 3 ; x+y?z 1 ; x?y+z 1 ; ?x+y+z 1 применим неравенство Коши при n=4. Получим: x+y+z?3• 4 x+y+z 3 · x+y?z 1 · x?y+z 1 · ?x+y+z 1 = =3· 1 3 · x+y+z 2 · x+y?z 2 · x?y+z 2 · ?x+y+z 2 = 3· 1 3 S = 3 S Отсюда следует, что наименьшее значение периметра равно ?? S и достигается при х=у=z.


Слайд 14

Решить самостоятельно. Окно имеет форму прямоугольника, завершенного полукругом. Дан периметр фигуры. Каковы должны быть размеры окна, чтобы оно пропускало наибольшее количество света? (ответ: 2Р 4+?? ; 2Р 4+?? ). Найти наименьшее значение функции у= х х?+1 , х>0. (ответ: min y=-1/2 при х=-1). Найти наименьшее значение функции у= х? - 6х + 5. (ответ: min y=-4 при х=3). Через точку М, лежащую внутри заданного угла, проводятся различные прямые. Определить ту из прямых, которая отсекает от сторон угла треугольник наименьшей площади. (ответ: min S=- (max z)? = у(3)= -4). Используя неравенство Коши, найти: а)наименьшее значение функции у=х+ 4 х , где х>0; б) наибольшее значение функции у= 2х 1+х? ( ответ: а) при х=2 min y=4 ; б) max y=1 при х=1)


Слайд 15

Используемая литература. И.Я. Виленкин и др. Алгебра и математический анализ для 9 класса. М. Просвещение. 1983. В.В. Мельников и др. Начала анализа. М. Наука. 1990. Н.И. Зильберберг. Алгебра и начала анализа в 10 классе. Для углубленного изучения математики. Псков. 1994.


×

HTML:





Ссылка: