'

Тригонометрические уравнения.

Понравилась презентация – покажи это...





Слайд 0

Тригонометрические уравнения. Работа учеников 11 «А» класса гимназии №5 Научный руководитель, учитель высшей категории, Калинина Елена Петровна


Слайд 1

Содержание. 1.Теоретический материал. 2.Основные методы решения. 3.Нестандартные методы решения. 4.Тренировочный материал по теме.


Слайд 2

Основные формулы решения тригонометрических уравнений. Определения arccos, arcsin Определения arctg, arcctg Формулы для решения тригонометрических уравнений Тождественные преобразования Частные случаи


Слайд 3

Определение arcsin a, arccos a Пусть число |a| не превосходит 1. arcsin числа а называется угол х, лежащий в пределах [-?/2;?/2], sin которого равен а x=arcsin a, где x?[?/2;?/2] и sinx=a, |a|<1 Пусть число |a| не превосходит 1. arccos числа а называется угол х, лежащий в пределах [0;?],cos которого равен а x=arccos a, где x?[0;?] и cosx=a, |a|<1


Слайд 4

Определение arctg arcctg arctg числа а называется угол х, лежащий в пределах (-?/2;?/2),tg которого равен а x=arctg a, где x?(?/2;?/2) и tgx=a. arcctg числа а называется угол х,лежащий в пределах (0;?),ctg которого равен а x=arcctg a, где x?(0;?) и ctgx=a,


Слайд 5

Формулы для решения тригонометрических уравнений


Слайд 6

Тождественные преобразования


Слайд 7

tg x=0,x=?n ctg x=0,x=?/2+?n Частные случаи Sin x=1,x=?/2+2?n Sin x=-1, x=-?/2+2?n Sin x=0,x=?n cos x=1,x=2?n cos x=-1, x=2?n+ ? cos x=0,x=?/2+?n Во всех случаях


Слайд 8

2.СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ. 1).Уравнения приводимые к алгебраическим. 2). Уравнения решаемые приведением к виду 3).Однородное уравнение. 4). Понижение степени. Уравнения с использованием формул и . 5). Уравнения содержащие различные функции 6).Уравнения с условиями


Слайд 9

1).Уравнения приводимые к алгебраическим. Уравнения вида решаются заменой на при ,далее решение сводится к решению квадратного уравнения относительно ,затем происходит отбор полученных корней с учетом Пример: заменим на при не удовлетворяет условию Ответ:


Слайд 10

Пример: 2).Уравнения решаемые приведением к виду


Слайд 11

однородное уравнение первого порядка однородное уравнение второго порядка. Данные уравнения решаются делением каждого члена уравнения на или на , так как и .Если бы , то это противоречило основ- ному тригонометрическому тождеству Пример: делим на , получим заменим на вернемся к замене или 3).Однородное уравнение


Слайд 12

Пример: применим формулу далее группируем и по формулам применяем получим 4).Понижение степени. Уравнения с использованием формул и .


Слайд 13

5).Уравнения содержащие различные функции. Пример: область определения уравнения или не удовлетворяет Значит решением уравнения является


Слайд 14

6).Уравнения с условиями Найти число корней на интервале заменим на где вернемся к замене или Получим 4 серии корней Объединим 4 серии корней в 2 серии Отберем корни принадлежащие интервалу


Слайд 15

2) СПОСОБ РЕШЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ ЕДИНИЧНОЙ ОКРУЖНОСТИ Мы видим, что 4 корня


Слайд 16

3.Нестандартные методы решения. а) Использование ограниченности функций. б)Использование производной для решения уравнений. в) Использование свойств синуса и косинуса. г) Использование числовых неравенств. д) Решение тригонометрических систем с параметром. е) упражнения и ответы.


Слайд 17

а).Использование ограниченности функций. Пример № 1: Решим уравнение Поскольку то, тогда Для любых x имеем , а поэтому уравнение равносильно системе уравнений множество решений которой совпадает с множеством решений совокупности систем уравнений Ответ: и


Слайд 18

б).Использование производной для решения уравнений. При решении уравнений часто бывает полезно доказать возрастание (убывание) на некотором промежутке функций, в него входящих.При этом часто пользуются производной. Пример №1. Решить уравнение Рассмотрим функцию Поскольку эта функция на интервале , имеет производную которая положительна на этом интервале, то функция f (х) возрастает на интервале Х. Так как функция f непрерывна на Х, то каждое своё значение она принимает только в одной точке. Значит f (х)=0 имеет не более одного корня. Число х1=0 является корнем f (х)=0. Поскольку функция f непрерывна и возрастает, то f (х)=0 при х=0. Ответ:0.


Слайд 19

г).Использование свойств синуса и косинуса. Пример№1. Решим уравнение Если число х 0 - решение уравнения, то либо , либо . Действительно, если бы было справедливо неравенство , то из уравнения следовало бы, что , что естественно, невоз- можно. Но если , то ; если же , то . Следовательно, любое решение уравнения является решением совокупности двух систем уравнений Первое уравнение первой и системы имеет решения Все они удовлетворяют второму уравнению. То есть являются решениями системы. Первое уравнение второй системы имеет решения . Ни одно из этих чисел не удовлетворяет второму уравнению второй системы. Поэтому система не имеет решений. Ответ: .


Слайд 20

Решением первой системы является , решением второй системы является . Все эти решения являются решениями совокупности систем. Ответ: ; . Пусть множество М есть общая часть (пересечения) областей существования функций f(x) и g(x) и пусть для любого справедливы неравенства f(x) А и g(x) А, где А - некоторое число. Тогда неравенство f(x) g(x) равносильно системе уравнений


Слайд 21

Пример № 2. Решим уравнение Если число х0 - решение уравнения, то , так как в противном случае было бы справедливо неравенство , что невозможно. Но если , то из уравнения следует, что . Поэтому любое решение уравнения является решением системы уравнений Первое уравнение системы имеет решения . Все они удовлетворяют второму уравнению системы, т.е. являются всеми решениями системы и равносильного ей уравнения. Ответ: .


Слайд 22

д). Использование числовых неравенств. Иногда применение того или иного числового неравенства к одной из частей уравнения позволяет заменить его равносильной системой уравнений. Часто применяется неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим : (причём равенство здесь возможно лишь при a=b), и его следствие:


Слайд 23

Пример № 1. Решить уравнение Решение. Область определения:x-любое. Применив неравенство (1),получим, что справедливо неравенство . Для любого x справедливо неравенство Из справедливости неравенств (3) и (4) следует, что уравнение (2) превращается в верное равенство лишь для тех х для которых обе части уравнения (2)равны 2, т.е. для х удовлетворяющих системе: Ответ:х=0.


Слайд 24

Пример №2. Решить уравнение Применяя неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим 2 раза получим что для любого х справедливы неравенства: Значит уравнение (6)превращается в верное равенство лишь для тех х, для которых применённое неравенство выполняется оба раза со знаком равенства, т.е. при условии


Слайд 25

Решением уравнения cos2x=1/2 (7) есть числа Уравнение (6) равносильно уравнению (7)значит все решения уравнения (7) являются решениями уравнения (6). Ответ: Пример №3. Решить уравнение Пусть число x0 есть любое решение уравнения (8). Тогда справедливо Применяя неравенство (1), получим что справедливо неравенство


Слайд 26

. В то же время справедливо неравенство .Следовательно, любое решение уравнения (8) является решением системы Решая систему получим . Уравнение (8) равносильно системе (9) и имеет те же решения. Ответ:


Слайд 27

е) Решение тригонометрических систем с параметром. Пример: Установить, при каких значениях а система уравнений имеет решение. Найти все решения. Так как левые части уравнений не превышают 1, то можно иметь решение только при а, удовлетворяющих системе неравенств. Этой системе удовлетворяет только а= . Итак, система принимает вид: Складывая и вычитая почленно уравнения системы получаем: Решением системы является: ;


Слайд 28

ж).Упражнения и ответы. Решите уравнение: 1) Ответ: ; 2) Ответ: 3) Ответ: 4) Ответ: 5) Ответ: Решите неравенство: Ответ:


Слайд 29

4.Тренировачный материал по теме. 1 вариант. 2 вариант. 3 вариант. 4 вариант. Ответы к тестам.


Слайд 30

3 вариант. 1. а) ;б) ;в) ;г) 2. а) ;б) ; в) ; г) . 3. в) ; а) ;б) ; г) .


Слайд 31

4. а) ;б) ;в) ;г) 5. Число корней уравнения на интервале равно: а) 5; б) 4; в) 3; г) 7; 6. Найдите наименьший положительный корень уравнения а) ;б) ;в) ;г).


Слайд 32

2 вариант. 1. а) ;б) ;в) ;г) 2. а) ;б) ;в) ; г) . 3. а) ;б) ;в) ; г) .


Слайд 33

4. а) ;б) ;в) ;г) 5.Число корней уравнения на интервале равно: а). 1 б). 0 в). 2 г). 3 6. Найдите наибольший отрицательный корень уравнения а). б). в). г).


Слайд 34

1 вариант. 1. а). б). в). г). 2. а). б). в). г). 3. а). б). в). г).


Слайд 35

4. а). б). в). г). 5.Число корней уравнения на интервале равно: а). 9 б). 4 в). 6 г). 3 6. Найдите наименьший положительный корень уравнения а). б). в). г).


Слайд 36

4 вариант. 1. а). б). в). г). 2. а). б). в). г). 3. а). б). в). г).


Слайд 37

4. а). б). в). г). 5. Число корней уравнения на интервале равно: а). 5 б). 2 в). 6 г). 3 6. Вычислите сумму корней уравнения, лежащих на отрезке а). б). в). г).


Слайд 38

Ответы к тестам. задание тест


×

HTML:





Ссылка: