'

Метрико-топологические вычисления в конструктивном мире кубических структур.

Понравилась презентация – покажи это...





Слайд 0

Метрико-топологические вычисления в конструктивном мире кубических структур. Г.Г.Рябов, В.А.Серов, И.А.Толстошеев (НИВЦ МГУ) Работа поддержана грантом РФФИ 09-07-12135 офи_м


Слайд 1

Введение. Парадигма «физика-топология-логика-компьютерные вычисления-Розеттский камень».Формально-языковые связки «физика-топология», «топология-логика-компьютерные вычисления». Построение конструктивного мира для решения задач синтеза геометрико-топологических структур компьютерными методами. Роль кубических структур как удобного материала для алгебраических представлений и для машинных параллельных реализаций . Влияние на архитектуру компьютеров новых поколений.


Слайд 2

Математика и компьютер. Первая сторона ответственности математиков состоит в том, чтобы, используя опыт и достижения математики, особенно математики ХХ века, значительно расширить возможность создания адекватных языков в других разделах науки… Многое будет сделано, в особенности в век компьютеров, которые медленно, но неизбежно будут менять психологию математиков… И.М.Гельфанд.


Слайд 3

О конструкции многообразия 2-сферы. MITgcm. MITgcm-модель глобальной циркуляции океан-атмосфера. Общая схема основана на представлении моделируемого слоя, как мембраны на поверхности планеты в виде 2-сферы. Гибкость представления при детализации модели обеспечивается различной дискретизацией псевдоквадратного покрытия 2-сферы. Такая конструкция названа кубоидной конформной сферой.


Слайд 4

Проекция куба на 2-сферу Проецируются вершины, середины ребер и ребра. Ребра на сфере- дуги больших кругов. Дискретизация сферы-проекция разбиений ребер. Ребра псевдоквадратов-дуги больших кругов. В модели глобальной циркуляции MITgcm модификации конформной сферы- 162х6; 322х6; 642х6.


Слайд 5

Триангуляция сетки на многообразии (2-сфере).


Слайд 6

Дуальная мозаика 2-сферы (6 типов выпуклых многоугольников).


Слайд 7

Общая схема конструктивного подхода к построению n-сферы. 1.Выбор алфавита и метода кодирования для граней кубической n-окрестности. 2.Описание множества слов, представляющих внешние и внутренние гиперграни. 3.На основании гомеоморфности поверхности n+1-куба и n-сферы вычислить все карты смежности для граней n-сферы. Спроецировать все целые точки (вершины) n-окрестности на геометрическую (заданную уравнением ? xi2=1;) cферу.


Слайд 8

Пространственная логика областей. 6 основных взаимных положений двух областей в пространстве. Дескрипторы связности: DC- не связаны EC- внешнее касание PO- пересечение TPP-внутр.касание NTPP- внутри EQ-совпадают


Слайд 9

Сопоставление пространственной логики областей и представления кубических структур. Взаимное расположение двух 3-окрестностей может быть задано 11 дескрипторами. DC,ECP,ECE,EC2E,ECF,EC2F,EC4F, POC,PO2C,PO4C, EQ


Слайд 10

Связь с рассматриваемой тематикой. Основная рассматриваемая тематика помечена жирными овалами в схеме. Разделы фундаментальной и прикладной математики помещены в прямоугольные рамки.


Слайд 11

Основы представления кубических структур.


Слайд 12

Биективность k-граней n-куба и n-разрядных слов троичного алфавита. е1,е2,…еn ?Rn; d1,d2,…dn ?Dn; di?{0,1,2}; fk (v) ?П I(ei) + Tej; ei:di=2; ej:dj={0,1}; |di|=k; |dj|=n-k; fk(v)-k-мерная грань n-куба в вершине v(T); П-декартово произведение; Т-трансляция; 022211-трехмерная грань в 6-мерном единичном кубе (рис).


Слайд 13

Определение кубанта и умножения. Кубант (кубический квант)- n-разрядное троичное слово, биективное k-мерной грани (k=0-n) n-мерного единичного куба (n-куба). Алфавит {0;1;2} На кубантах задана бинарная операция «умножение» с расширением алфавита до {O;0;1;2}: Правила поразрядного коммутативного умножения: 0?0=0; 0?1=1?0=O; 0?2=2?0=0; 1?2=2?1=1; 2?2=2; O,0,1,2xO=O; В префиксной форме П(201221;211122)=2O1121; (эти 3-грани в 6-кубе не пересекаются и Lmin=1);


Слайд 14

Свойства умножения. Произведение кубантов равно слову, биективному общей грани соответствующих сомножителям граней, если оно не содержит O. Если произведение содержит по крайней мере одну O, то число разрядов с O равно длине мин. пути (по ребрам n-куба) между гранями. П(022200;221120)=021100; П(022211;022200)=0222OO; Lmin=2; (рис)


Слайд 15

Моноид кубантов и псевдокубантов Определение. Псевдокубант n-разрядное четверичное слово (алфавит {O,0,1,2} по крайней мере с одним из разрядов O. При заданном умножении множество всех n-разрядных четверичных слов (алфавит {O,0,1,2}), кубанты и псевдокубанты, образуют моноид с единицей – кубант 22…2 (весь n-куб). Общее число мономов 4n, среди них кубантов 3n.


Слайд 16

Хаусдорфова метрика на кубантах- обобщение метрики Хэмминга. ?HH(D1,D2)=max{maxLmin(D1?D2),maxLmin(D2?D1)}; D1=022211; D2=112222; Lmin(D1?D2) ?112222 002211 П=OO2211 max Lmin(D1?D2)=2; Lmin(D2?D1)? 022211 112200 П=O122OO max Lmin(D2?D1)=3; ?HH(D1,D2)=max{2,3}=3;


Слайд 17

Дескриптивное описание алгоритма вычисления НН-расстояния между гранями n-куба Пусть граням n-куба f1 и f2 соответствуют кубанты D1=d11,…d1n; D2=d21,…d2n; 1.Вычисление max Lmin(D1?D2): рассматриваются все пары разрядов d1i и d2i (i=1-n).Если d1i=2, а d2i=0, то d1i заменяется на 1; если d1i=2, а d2i=1, то замена d1i на 0. В остальных случаях замен нет. D1 c заменами обозначим D1*. Затем вычисляется произведение П(D1*,D2) и в нем подсчитывается число разрядов с O, которое и равно max Lmin(D1?D2). 2.Вычисление max Lmin(D2?D1) происходит идентично пункту 1. с заменой индекса 1 на 2 и 2 на1. 3. Из двух величин max Lmin(D1?D2), max Lmin(D2?D1) (целые, неотрицательные числа) выбирается максимальное, которое и равно ?НН(D1,D2)=?HH(f1,f2).


Слайд 18

НН-метрическое пространство. Все грани (кубанты) n-куба образуют Хаусдорфово-Хэммингово (НН) конечное метрическое пространство. Расчеты матриц всех парных НН-расстояний проведены на суперкомпьютере МГУ «Чебышев» для размерностей n=1-10. Распределения ?нн(?,?) на рис.


Слайд 19

Расширение понятий и операций. Путь размерности k (k-путь) между k-гранями f1 и f2- последовательность граней вида f11,f12,…f1s, где все k-грани; f11=f1;f1s=f2; и для i=1-s выполнено f1i?f1i+1= грани размерности k-1; Биективно: k-путь между кубантами D1 иD2 последовательность D11,D12,…D1s такая, что D11=D1, D1s=D2; все D1i содержат ровно k букв «2»; и для i=1-s выполнено D1i?D1i+1=кубант с k-1 буквой «2». Кратчайший k-путь, когда s минимально. Оператор (унарный) взятия границы(?D) –множество кубантов, биективное гиперграням соответствующего куба. Оператор (m-арный) выпуклой оболочки (соnv{D1,…Dm}) – кубант минимальной размерности D0: {D1,…Dm} ? D0;


Слайд 20

Задача многомерного «метро». Три трехмерных тоннеля в 9-кубе от 00…0 до 11…1 Три кратчайших 3-пути в 9-кубе от 00…0 до 11…1


Слайд 21

Н2H метрика между k-путями-пример метрики между комплексами кубантов. Кубанты, описывающие k-пути - точки НН-метрического пространства. Каждый путь-множество точек из НН-пространства. Между этими множествами V1 и V2 вычисляется хаусдорфово расстояние как: max {max min ?HH(V1?V2), max min ?HH(V2?V1)} =?H2H (V1,V2) Для «тоннелей метро»V1,V2,V3: ?H2H(V1,V2)=?H2H(V1,V3)=?H2H(V2,V3)=3;


Слайд 22

Кубические окрестности. Определение. Множество всех единичных n-кубов вместе со всеми своими гранями в Rсn, имеющих общую вершину (целую точку), - кубическая n-окрестность этой точки. Число n-кубов в кубической n-окрестности (ортантов) равно 2n. Общее число кубических граней всех размерностей в n-окрестности равно 5n, что следует из общего принципа кодирования кубических граней. Единичные отрезки (как декартовы сомножители) кодируются двумя буквами 2 и -2 (в положительном и отрицательном направлениях) по каждому измерению, а трансляции тремя буквами -1,0,1; т.е. общий алфавит-пятиричный (-2,-1,0,1,2).


Слайд 23

Общая комбинаторная схема кодирования кубических граней. Для n-куба: (одна буква для обозначения наличия единичного отрезка в декартовом произведении по данному измерению) + (две буквы для обозначения наличия или отсутствия трансляции по данному измерению)? ?F(n,k)=(1+2)n; F(n,k)=C(n,k) 2n-k; число k-граней в n-кубе Для кубической n-окрестности радиуса 1: (две буквы для отрезков в положительном и отрицателном направлениях)+(три буквы для трансляций в положительном и отрицательном направлениях и отсутствия трансляции) ?F(n,k)=(2+3)n; F(n,k)=C(n,k)2k 3n-k;число k-граней в n-окр.


Слайд 24

Отображение 6-окрестности на R2. a) I6 б) 6-окрестность с ортантами в) Lmin между кросс-кубантами D1 и D2.


Слайд 25

3-окрестность и 4-окрестность (кубические). Все грани 3-окрестности биективны всем трехразрядным, а 4-окрестности всем четырехразрядным словам пятиричного алфавита {-2;-1;0;1;2}. Слова с таким алфавитом-кросс-кубанты.


Слайд 26

Проекции граней поверхности кубической окрестности на сферы. Внешние грани 4-окрестности проецируются на 3-сферу (ренормировка координат вершин).


Слайд 27

Все поверхностные грани. Кубические 2-сфера и 3-сфера. Отсутствуют грани, содержащие (0,0,…0)?все четырехразрядные слова, у которых есть разряд 0.


Слайд 28

Этапы вычисления единичной 3-сферы. A1 генерирует все кубанты с тремя буквами из {2,2} и одной из {1,1} А2 ?смежные грани, А3?вершины 3-грани,А4?ребра в 3-грани А5 ? проецирует вершины на единичную сферу S3.


Слайд 29

Вычислимость и энумератор. А1-энумерация всех кубических 3-граней для проекции на сферу с помощью матрицы (столбцы соотв.знакам): 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1101 1110 1111 2221 2221 2212 2212 2122 1222 1222 Порядок генерации по строкам с 1-ой по 4-ую, т.о. №(2212)= (m-1)16+5=21, где m-номер разряда с 1, 5-номер столбца. №=63?63/16=3(15)?3+1(строка 4),15 (столбец1110)=1222


Слайд 30

Экстраполяция на n-мерный случай. Кубическая n-мерная сфера как множество n-мерных кубических граней: Sn(D)={? D(n+1):dn?{2,2},d?{1,1}}; Общее правило проекции на сферу (А5): (x1,x2,…xn)?(?1,?2,…?n); ?i=xi/??xk2; (x)-вершина (целая точка) на кубической грани, (?)-вершина на сфере Алгоритмы А1,А2,А3,А4 без изменения.


Слайд 31

Сравнительная анатомия 4-окрестности и единичной S3. Вершин 81; 80; Ребер 216; 208; 2-Граней 216; 192; 3-Граней 96; 64; 4-Граней 16; 0;


Слайд 32

Матрица смежности для вершин на S3 (проекции вершин кубической 4-окрестности) 80х80 Обозначения координат: 1?+;0?0; 1??; элементов в матрице: 1?х; 0?.;(++0- ?1101)


Слайд 33

Удлинение НН-расстояний в S3(D). Удлинение в S3(D), когда в 4-окрестности Lmin проходит через 0000.


Слайд 34

Фронты волны в S3 и B3. Фронты волны от зеленой вершины отличаются только в одной вершине, исключая вершину 0000.


Слайд 35

Дальнейшая дискретизация S3. Каждый псевдо 3куб как грань S3 в R4 разбивается на 2k?2k?2k меньших кубов. Вычисление координат вершин этих кубов аналогично вычислению координат вершин для граней S3.


Слайд 36

Дальнейшие вычисления при дискретизации S3. Пример разбиения единичной S3 на 64х64=4096 псевдокубических граней.(Продолжение «Этапы вычисления 3-сферы»)


Слайд 37

Графическое приближение S3 4-окрестность без внутренних граней, содержащих (0000) Проекция вершин на сферу ? xi2=1; i=1-4;


Слайд 38

Дискретизация, триангуляция и мозаичное разбиение 3-сферы по аналогии с 2-сферой. Оценки для суперкомпьютера. Сравнительные данные с MITgcm. Дискретизация 16,32,64 для S2? 256х6;1024x6;4096x6.(псевдоквадратов). Дискретизация 16,32,64 для S3? 4Kx64=1/4K2;32Kx64=2K2;256Kx64=16K2; K2~106 Одноразовый проход по всему многообразию S3 с числом операций106 для каждого дискрета возможен на «Чебышеве» за секунды.


Слайд 39

К построению многообразия 3-тора. Схема-аналог для построения 2-тора.Расширение окрестности (3х3х1) и удаление внутренних 2-граней с вершинами ?.(Углы окрашены зеленым цветом). Затем проекция на поверхность тора.


Слайд 40

О значении визуализации. If I can’t picture it, I can’t understand it. А.Эйнштейн


Слайд 41

Графическое обеспечение многомерных кубических структур. Адекватное представление – алгебраическое, геометрическое- скорее метафорическое. Наиболее эффективно построение графического образа прямо по алгебраической форме. 2d и 3d отображения многомерных структур должны комментироваться описанием искажений (афинных и др.) в графике. Особое значение приобретает цвет, как средство выделения подмножеств с определенными свойствами. Динамика осмотра и анимация эволюции- важный элемент для графики многомерных объектов. Создание специального ПО целесообразно как надстройка над открытыми системами Open GL и VRML.


Слайд 42

Проблема масштабирования. Визуализация многомерных структур должна предусматривать элементы масштабирования, прежде всего по размерности пространств n. Для кубических структур настройку параметров изображения (вершин,ребер и т.д.) для комфортной визуализации. Поскольку технические возможности аппаратуры весьма ограничены, специальное ПО должно позволять не только сигнализировать о практической невозможности отображения целиком объекта, но и предлагать воспроизвести допустимый фрагмент объекта.


Слайд 43

Qcubant 1.0 Программная среда для визуализации и рассчётов над кубантами.


Слайд 44

Встроенный интерпретатор В Qcubant встроен интерпретатор языка javascript, позволяющий быстро, без компиляции, в режиме реального времени производить операции над ними и выводить результат в соотвествии с заданным режимом отображения. Также поддерживается ряд операций над кубантами и кубическими комплексами – это операции “умножение кубантов”, “выпуклая оболочка”, “наибольший общий кубант”, и другие Добавлена поддержка кросскубантов как подкласс кубантов со смещением по осевым направлениям.


Слайд 45

Возможности визуализации 2 варианта визуализации – трехмерный и двумерный. Настраивамые параметры отображения – цвет, форма граней и вершин Настравивамый репер (базис) для отображения Возможность вывода в VRML Возможность создания множественных отображений, соотвествующих одной сцене


Слайд 46

Применение на суперкомпьютерах Структура приложения организована так, что часть программы, которая отвечает за логику отделена, и может использоваться самостоятельно. Эту часть можно использовать на суперкомпьютерах для рассчетов, связанных с кубантами. С другой стороны, эта часть используется в приложении Qcubant и можеn быть вынесена оттуда как отдельная программная библиотека.


Слайд 47

Возможности системы Отрисовка кубантов Простейшие операции Отображение в виде двух проекций – 2D и 3D Встроенный интерпретатор языка Javascript


Слайд 48

Вид программы Внешний вид программы- слева, Снизу javascript-представление, Вверху двумерная проекция для кубантов 5-мерного куба.


Слайд 49

Двухмерная проекция Двумерная проекция кубантов (“туннели метро”)


Слайд 50

Трёхмерная проекция Слева представлена трёхмерная проекция комплекса кубантов.


Слайд 51

Проекции 3-мерных комплексов в 9-кубе со всех сторон.


Слайд 52

Пример динамической графики для отображения расположения кросс-кубантов в 6-окрестности.


Слайд 53

Эмуляция операторов и расчеты с их использованием на суперкомпьютере «Чебышев» Пользовательская нотация используется для хранения кросс-кубантов в файлах и графического отображения. Машинная нотация используется непосредственно в вычислениях.


Слайд 54

Нотации для представления кросс-кубантов (пользовательская, машинная). Пользовательская нотация используется для хранения кросс-кубантов в файлах и графического отображения. Машинная нотация используется непосредственно в вычислениях.


Слайд 55

Пользовательская нотация {[,,]()( )[ ]( )( )…[ ]( )}…{ } { } - комплекс из единичных n-кубов [ x1,x2,…,xn ] – координаты единичного n-куба в составе комплекса { } ( c1,c2,…,cn ) – кросс-кубант, в составе единичного n-куба. Разряды кросс-кубанта могут быть из пользовательского алфавита {O1,0,1,2, O2,-1,-2}. Кросс-кубанты, входящие в состав единичного n-куба, следуют сразу за координатами этого куба: [ ]( )( )… В дальнейшем, по мере усложнения задач, нотация может быть расширена. Например, могут быть добавлены идентификаторы комплексов: {A }{B } и т.д.


Слайд 56

Машинная нотация Разряды кросс-кубанта могут быть из машинного алфавита {0,1,2,3, 4,6,7}. Машинная нотация получается из пользовательской путем следующего преобразования : O1 ->0, 0->1,1->2, 2->3, O2 ->4, -1->6, -2->7 Реализованы две функции для перехода от одной нотации к другой и обратно.


Слайд 57

Основные структуры данных и формат файлов для представления кросс-кубантов. Формат файла {A[,,]()( )[ ]( )( )…[ ]( )}…{B }… Нотация соответствует пользовательской. Структуры данных представляют собой набор классов: - класс “Куб”, содержащий координаты единичного n-куба и набор кросс-кубантов в составе этого куба. Под координатами куба понимаются координаты его начальной точки (точка с координатами (0,0,..,0) в локальной системе координат данного куба). Набор кросс-кубантов реализован в виде одномерного массива. - класс ”Комплекс”. Содержит идентификатор комплекса и все единичные n-кубы, входящие в состав данного комплекса. Кубы хранятся в виде одномерного массива. Если необходимо работать с несколькими комплексами, то они, в свою очередь, помещаются в массив. Все массивы динамические и реализованы средствами библиотеки STL C++. Размерность пространства, в данной реализации, одинакова для всех объектов.


Слайд 58

Вспомогательные структуры данных. Используется ряд вспомогательных структур, которые ускоряют процесс вычисления. В частности, таблицы для операции умножения кросс-кубантов, хаусдорфова сжатия, операции выделения выпуклой оболочки, кодированного представления кросс-кубантов, таблица для разложения кросс-кубантов на составляющие (и полуцелые) точки.


Слайд 59

Структуры данных, используемые в параллельной реализации. В параллельной реализации используются аналогичные основные и вспомогательные структуры данных. Также присутствуют специфические дополнительные структуры - буферы для обмена информацией между вычислительными узлами. Добавлена возможность представления кросс-кубанта как самостоятельного элемента, а не в составе единичного n-куба. Это вызвано необходимостью обмена данными между вычислительными узлами, который требует линейного размещения данных в памяти, в не структурированном виде. В таком представлении кросс-кубант задается следующим образом: [идентификатор комплекса][координаты единичного n-куба][кросс-кубант]. В памяти машины он представляется как одномерный массив.


Слайд 60

Набор последовательных функций для работы с кросс-кубантами. - Вспомогательные функции , функции для работы с файлами и подготовки к вычислениям. Функции для генерации комплексов из кросс-кубантов (алгоритм произвольной кривой, замкнутые комплексы), функции для чтения \ записи данных из текстовых файлов, функции для анализа содержимого файлов (парсер) и заполнения структур данных в памяти компьютера, функция перевода из пользовательского представления кубантов в машинное и обратно. Реализованы некоторые геометрические операции с n-мерными векторами. - Операторы для работы с кросс-кубантами: умножения, хаусдорфова сжатия, проверки на пересечение и определения кратчайшего пути, выделения выпуклой оболочки, выделения границы. - Функции для работы с комплексами кросс-кубантов внутри единичного n-куба: функция умножения двух комплексов, функция проверки на пересечение, функция сжатия, функция проверки на связность комплекса и выяснения его топологической структуры, функция определения кратчайшего пути между комплексами, функция определения Хаусдорф-Евклидова и Хаусдорф- Хеммингова расстояния между комплексами, функция рекурсивного построения гамильтонова цикла в единичном n-кубe, выделение границы. - Функции на уровне комплексов из n-кубов: вычисление Хаусдорф-Евклидова расстояния.


Слайд 61

Набор параллельных функций для работы с кросс-кубантами. - Функция для “по-кубантного” представления комплексов (см. выше Структуры данных) и функция распределения входных данных по вычислительным узлам. Размещение данных происходит равномерно по всем узлам, с точностью до кросс-кубанта. Для разных алгоритмов применяются различные схемы распределения, в зависимости от характера задачи (степени информационной зависимости). - Функция вычисления Хаусдорф-Евклидова расстояния между комплексами в n-мерном пространстве и функции определения Хаусдорф-Евклидова и Хаусдорф- Хеммингова расстояния между комплексами внутри единичного n-куба.


Слайд 62

Графическое представление. Графическое отображение средствами VRML. Трехмерное сферическое представление n-мерных комплексов кросс-кубантов внутри единичного n-куба (n-окрестность).


Слайд 63

Тестовые задачи с использованием функций инструментария. - Тестирование и отладка всех реализованных на данный момент функций инструментария. - Комплексная задача вычисления Хаусдорф-Хеммингова расстояния между двумя n-комплексами внутри единичного n-куба. Задача вычисления Хаусдорф-Евклидова расстояния между двумя n-комплексами в n-мерном пространстве. Сравнение с результатами оператора метрической волны в трехмерном случае. Комплексная задача определения Хаусдорф-Хеммингова расстояния для всех пар кросс кубантов внутри единичного n-куба. Задачи решались как на однопроцессорном компьютере, так и на кластере.


Слайд 64

Особенности параллельной реализации задачи определения Хаусдорф-Евклидова расстояния между двумя n-комплексами в n-пространстве. Довольно сильная информационная зависимость задачи, так как комплексы распределены по всем вычислительным узлам. Решение задачи, в первую очередь, ориентировано на саму возможность расчета Хаусдорф-Евклидова расстояния для больших n за счет использования памяти кластера. Алгоритм распределения “по-кубантный”. В трехмерном случае результаты вычислений данным алгоритмом и алгоритмом метрической волны совпали.


Слайд 65

Параллельный алгоритм расчета Хаусдорф-Евклидова расстояния rEH. Изображены этапы вычислений (1-4) только для одного из узлов кластера.


Слайд 66

Особенности параллельной реализации задачи определения Хаудорф-Хеммингова расстояния между всеми парами кросс-кубантов в единичном n-кубе. Полная распараллеливаемость задачи, как следствие – линейное ускорение. Алгоритм распределения вычислительной нагрузки по узлам кластера на основе учета количества пар кросс-кубантов Генерация пар кросс-кубантов в режиме реального времени (экономия памяти для задач большой размерности) На диаграмме: n =1,..,7 – расчет с помощью последовательного алгоритма, n = 8,..,10 – с помощью параллельного. Расчет производился на кластере НИВЦ МГУ “Чебышев”. Результаты приведены в таблице и в виде трехмерной диаграммы:


Слайд 67

Графическое представление задачи нахождения Хаусдорф-Хеммингова расстояния для всех пар кросс-кубантов внутри n-окрестности.


Слайд 68

НН-расстояния всех пар кросс-кубантов в n-окрестности.


Слайд 69

Перспективы развития (теоретические). Развитие алгебры кубантов для n-окрестности радиуса r>1. Модификация (универсализация) алфавита. Развитие методов проецирования кубических комплексов и многообразий на гладкие тела. Стыковка с предикатными конструкциями пространственной логики. Развитие стринговой структуры организации памяти компьютера и символьных операций.


Слайд 70

Перспективы технические. Разработка архитектуры сопроцессора, ориентированного на решение многомерных комбинаторно-топологических задач. Моделирование сопроцессора на уровне межрегистровых пересылок. Оценки экономичности аппаратных и программных реализаций операций сопроцессора и его места в суперкомпьютерной структуре.


Слайд 71

Литература 1.Новиков С.П. Топология. Москва-Ижевск.РХД.2002. 2.Долбилин Н.П.,Штанько М.А.,Штогрин М.И. Кубические многообразия в решетках.// Изв.РАН.Сер. матем.1994.58. вып.2.93-107 3.Деза М.,Штогрин М. Вложение графов в гиперкубы и кубические решетки.// Успехи матем. наук.1997.52.№6.155-156. 4.Деза М.,Штогрин М. Мозаики и их изометрические вложения.// Изв. РАН.Сер. матем.2002.66.№3.3-22. 5.Matveev S., Polyak M. Finite type Invariants of Cubic Complexes.//Act.Appl.Math.75.2003.pp.125-132. 6.Бухштабер В.М., Панов Т.Е. Торические действия в топологии и комбинаторике. МЦНМО.2004. 7.Бухштабер В.М. Кольцо простых многогранников и дифференциальные уравнения.// Труды МИРАН.2008.263.18-43. 8.Kontchakov R., Pratt-Hartmann J.,Wolter F., Zakharyaschev. Spatial Logics with Connectedness Predicates.//Log.Methods in Comp.Science. Vol.6(3:5) 2010,pp.1-43. 9.Marshall J., Adcroft A., Campin J-M., Hill C. Atmosphere-Ocean modelling exploiting fluid isomorphisms.//Boston.MIT.2002 10.Hamming R.W. Error detecting and error correcting codes.// Bell system Tech.Journal. 1950.29(2) 147-160 11.Baez J., Stay M. Phisics, topology, logics and computation: a Rosetta Stone//arXiv:0903.0340v3[quant-ph].6 June 2009 12.Baez J.,Lauda A. A Prehistory of n-categorical Physics.// arXiv: 0908.2469.v1 [hep-th] 18 Aug 2009.


Слайд 72

13.Lauda A. Frobenius algebras and planar open string topological field theories.// arXiv: math(0508.349 v1) [math QA] 18 Aug 2005. 14.Stanley R. Combinatoric and Commutative Algebra.// Birkhauser.1996 15.Manin Yu.I. Classical computing, quantum computing and Shor’s factoring algorithm. // arXiv: quant-ph/9905008 v1. 2 March 1999. 16.Ambjorn J.,Jurkevicz J.,Loll R. The Universe from Scratch. // arXiv: hep-th/0509010 v3. 14 Oct 2006. 17.Coecke B., Quantum picturalism.// arXiv:0908.1787v1[quant-ph] 13 Aug 2009. 18.Ryabov G.,Serov V., Simplicial-lattice model and metric-topological constructions.// Proc. of IX Conf. on Pattern Recognition and Inf. Processing. V2. Minsk.2007.135-140 19.Рябов Г.Г. О путевом кодировании k-граней в n-кубе. //Вычислительные методы и программирование. 2008.9.N1.20-22 20.------- О четверичном кодировании кубических структур.// Вычислительные методы и программирование. 2009.10.N2,154-161 21.------- Хаусдорфова метрика на гранях n-куба. //Фундаментальная и прикладная математика.2009.(в печати). 22.-------Алгебраическое представление кубических структур и супервычисления.//Сб.Программные системы и инструменты. ВМиК МГУ.2009.№10,12-26 23.Рябов Г.Г.,Серов В.А. О метрико-топологических вычислениях в конструктивном мире кубических структур.//Вычислительные методы и программирование.2010.11.N2.146-155


×

HTML:





Ссылка: