'

Лобанов Алексей Иванович

Понравилась презентация – покажи это...





Слайд 0

Лобанов Алексей Иванович Основы вычислительной математики Лекция 1 8 сентября 2009 года


Слайд 1

Становление – конец XIX века Карл Рунге Алексей Николаевич Крылов


Слайд 2

Основные задачи Физические модели – дифференциальные уравнения Приближенное решение нелинейных дифференциальных уравнений или систем


Слайд 3

Пример простой математической модели Общая схема функционирования ССК (М.А.Пантелеев, Ф.И.Атауллаханов)


Слайд 4

Пример простой математической модели Система в частных производных без учета конвективных потоков


Слайд 5

Проблемы Непрерывная задача – дискретная задача Качество приближения АППРОКСИМАЦИЯ


Слайд 6

Проблемы Действительное число (бесконечная десятичная дробь) – операции с конечной длиной мантиссы Ошибки округления УСТОЙЧИВОСТЬ


Слайд 7

Проблемы Корректность постановки – непрерывная зависимость от начальных данных ОБУСЛОВЛЕННОСТЬ


Слайд 8

Погрешности Пусть u и u* — точное и приближенное значение некоторой величины соответственно. Тогда абсолютной погрешностью приближения u* называется величина ?, удовлетворяющая неравенству


Слайд 9

Погрешности Относительной погрешностью называется величина удовлетворяющая неравенству Обычно используется запись


Слайд 10

Погрешности Машинный эпсилон машинным ? называют наибольшее из чисел, для которых в рамках используемой системы вычислений выполнено 1 + ? = 1


Слайд 11

1. Задача численного дифференцирования Пусть задана таблица значений xi. В дальнейшем совокупность точек на отрезке, котором проводятся вычисления, иногда будут называться сеткой, каждое значение xi — узлом сетки. Пусть сетка равномерная, и расстояние между узлами равно — шагу сетки. Пусть узлы сетки пронумерованы в порядке возрастания


Слайд 12

1. Задача численного дифференцирования Производная Конечная разность (1)


Слайд 13

1. Задача численного дифференцирования Погрешность формулы (1) Пусть f – проекция на сетку дважды непрерывно дифференцированной функции, тогда


Слайд 14

1. Задача численного дифференцирования Полная погрешность


Слайд 15

1. Задача численного дифференцирования Оптимальный шаг дифференцирования


Слайд 16

1. Задача численного дифференцирования Формула второго порядка (2)


Слайд 17

1. Задача численного дифференцирования Оптимальный шаг для формулы второго порядка (2)


Слайд 18

1. Задача численного дифференцирования Вычисление второй производной


Слайд 19

1. Задача численного дифференцирования Метод неопределенных коэффициентов Введем на рассматриваемом отрезке шаблон из нескольких точек


Слайд 20

1. Задача численного дифференцирования Раскладываем в ряд Тейлора в окрестности x


Слайд 21

1. Задача численного дифференцирования Система линейных уравнений метода неопределенных коэффициентов …


Слайд 22

Система 1. Задача численного дифференцирования


Слайд 23

1. Задача численного дифференцирования Определитель данной матрицы — детерминант Вандермонда. Из курса линейной алгебры известно, что он не равен нулю. Тогда существует единственный набор коэффициентов ?, который позволяет найти на шаблоне из (1 + l + m) точек значение первой производной с точностью


Слайд 24

1. Задача численного дифференцирования Для нахождения второй производной можно использовать ту же самую формулу с небольшой модификацией


Слайд 25

1. Задача численного дифференцирования Система уравнений


Слайд 26

1. Задача численного дифференцирования доказано следующее утверждение. На сеточном шаблоне, включающем в себя N + 1 точку, с помощью метода неопределенных коэффициентов всегда можно построить единственную формулу для вычисления производной порядка p (от 1 до N включительно) с точностью не хуже, чем .


×

HTML:





Ссылка: