'

Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики

Понравилась презентация – покажи это...





Слайд 0

А.В.Павлов Инт. Инф. Сист Кафедра фотоники и оптоинформатики Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики А.В.Павлов Интеллектуальные информационные системы Лекция 10 НС с хаотической динамикой (Начала теории хаоса) Санкт-Петербург, 2007


Слайд 1

А.В.Павлов Инт. Инф. Сист Мозг здорового бодрствующего человека является предельно неустойчивой хаотической системой. Без хаотической динамики невозможно обучение – мозг не может добавить в память новый образ [Фриман Дж.У., Динамика мозга в восприятии и сознании: творческая роль хаоса // В сб. «Синергетика и психология». Вып.3. "Когнитивные процессы", Издательство «Когито-Центр", 2004.].


Слайд 2

А.В.Павлов Инт. Инф. Сист Роль хаоса в обучении Состояние покоя С Т И М У л незнакомый Состояние «не знаю» (хаос) знакомый Состояние успешного распознавания (предельный цикл) обучение


Слайд 3

А.В.Павлов Инт. Инф. Сист Три типа динамики – три типа аттракторов Устойчивая система –аттрактор с единственным глобальным минимумом, конвергентная динамика; Предельный цикл – циклическая динамика; Хаос – странный аттрактор.


Слайд 4

А.В.Павлов Инт. Инф. Сист Итерирующее отображение (X,d) – метрическое пространство T:X?X сжимающее отображение, если ?S, 0<S<1, ?x,y?X, d(T(x),T(y))?Sd(x,y) Если S?(0,?), то Т – отображение Липшица. Теорема о сходимости к неподвижной точке. (X,d), T – сжимающее отображение, xf – неподвижная точка, т.е. T(xf)=xf, T(x) имеет в конечном счете одну неподвижную точку и, кроме того, ?x0?X, , где xn = T(xn-1). xn Xn+1 x0 Паутинная диаграмма


Слайд 5

А.В.Павлов Инт. Инф. Сист Свойство единственности неподвижной точки Пусть T(x) имеет две неподвижные точки xf1 и xf2. Тогда по определению сжимающего отображения d(T(xf1),T(xf2))=d(T(xf1),T(xf2))?Sd(xf1,xf2), Так как S<1, то последнее неравенство выполняется только при xf1 = xf2.


Слайд 6

А.В.Павлов Инт. Инф. Сист Притягивающие и отталкивающие точки. Отображение f не предполагается сжимающим, ? теорема о неподвижной точке неприменима. Xf – неподвижная точка. Разложим f в ряд Тейлора вблизи неподвижной точки f(x) = f(xf)+(x-xf)(f’(x)). По определению неподвижной точки f(xf)=xf, то следующий шаг xn+1=f(xn) ? xn+1-xn=(xn-xf)f’(xf) если ?f’(xf)?>1, то xf - отталкивающая, т.к. с каждым шагом расстояние увеличивается, орбиты из ее окрестности расходятся; если ?f’(xf)?<1, то xf - притягивающая, т.к. с каждым шагом расстояние уменьшается, орбиты из ее окрестности сходятся.


Слайд 7

А.В.Павлов Инт. Инф. Сист Периодические точки Точки ?1 и ?2 : f(?1)= ?2; f(?2)= ?1; Def. Последовательность называется орбитой точки x0. Def. Орбита называется периодической с периодом р, если xn+p=xn; n=0,1,2… Если условие периодичности xn+p=xn справедливо только после некоторого n?n0, то орбита в конечном счете периодическая.


Слайд 8

А.В.Павлов Инт. Инф. Сист Примеры итерирующих отображений, приводящих к хаосу модель ограниченного роста T: xn+1=axn(1-xn) (Верхольст, 1845) xn+1=xn2+a xn+1=xn(1+a (1-xn)) xn+1=xn exp(a(1-xn))


Слайд 9

А.В.Павлов Инт. Инф. Сист Отображение T(x)=x2+a Неподвижная точка - решения x=x2+a, т.е. Неподвижная точка действительные числа, только если 1-4а?0. Если а?1/4, то ?<?<?, T(-?)=?. Для x0 > ? и x0 < ? орбиты стремятся к ?.


Слайд 10

А.В.Павлов Инт. Инф. Сист Пусть I?[-?,?], если -2?а?1/4 и x0?I, то T(x0)?I. –3/4<a<1/4 . ? ?T’(?)?=?1-(1-4a)1/2?<1 ? Неподвижная точка притягивающая все орбиты с x0?I сходятся к ?. T(x)=x2+a


Слайд 11

А.В.Павлов Инт. Инф. Сист Зависимость значения неподвижной точки от значения параметра а в диапазоне –3/4<a<1/4 Неподвижная точка устойчива (а=-3/4 при m=200)


Слайд 12

А.В.Павлов Инт. Инф. Сист -5/4 < a < –3/4. ? ?T’(?)?>1 ? Неподвижная точка ? отталкивающая. В то же время, T(2) доставляет пару притягивающих точек, приводящих к появлению цикла с периодом 2. a = –3/4 – точка бифуркации


Слайд 13

А.В.Павлов Инт. Инф. Сист a=-5/4 – снова бифуркация удвоения периода –цикл с периодом 4. На рисунке диаграмма для значений 0 < а < -1,4 При а=-2, ?=2, I=[-2,2], y=x пересекает график Т(n)(x) точно 2n раз, каждая точка периодическая с периодом n ? существуют периодические орбиты с р=2,3.4,…n


Слайд 14

А.В.Павлов Инт. Инф. Сист


Слайд 15

А.В.Павлов Инт. Инф. Сист Точка Фейгенбаума a?=liman=-1.401155…., где an – значения точек бифуркаций. ?<a<a? - удвоение периода a?<a – область хаоса в окрестности а=-1.7548777… - окно периода 3. Отношение длин интервалов между точками бифуркаций имеет предел постоянная Фейгенбаума. Если значения а? для разных ф-ций разные, то значение d одно для очень многих ф-ций.


Слайд 16

А.В.Павлов Инт. Инф. Сист Пример построения бифуркационной диаграммы для ИО «кривая ограниченного роста»


Слайд 17

А.В.Павлов Инт. Инф. Сист Определение хаоса Пусть (X,d) метрическое пространство. Отображение T:X?X называется хаотическим, если: Т обладает существенной зависимостью от начальных условий, а именно: (X,d), x?X, U – открытое мн-во, x?U, для ?>0 ?n>0 и (?)y?U, что d(T(n)(x),T(n)y))>?; 2. Т транзитивно, т.е. для ?U,V – открытых мн-в ?n?0 такое, что T(n)(U)?V??; 3. Периодические точки плотны в Х, т.е. в любой окрестности ? точки в Х существует по крайней мере одна периодическая точка и, следовательно, бесконечное множество периодических точек. Это – строгий хаос. Строго говоря, условие (1) избыточно, т.к. оно следует из 2 и 3.


Слайд 18

А.В.Павлов Инт. Инф. Сист Реализация сценария Фейгенбаума в голографической схеме Амосова Л.П., Плетнева Н.И., Чайка А.Н., «Нелинейный режим реверсивной записи голограмм на структурах фотопроводник - жидкий кристалл с высокой чувствительностью к излучению He-Ne лазера// Оптический журнал, 2005, т.72, №6, с.57-62.


Слайд 19

А.В.Павлов Инт. Инф. Сист Сходимость процесса в зависимости от точки старта


Слайд 20

А.В.Павлов Инт. Инф. Сист


Слайд 21

А.В.Павлов Инт. Инф. Сист


×

HTML:





Ссылка: