'

Цилиндр, конус и шар

Понравилась презентация – покажи это...





Слайд 0

Цилиндр, конус и шар Основные понятия


Слайд 1

Понятие цилиндра основание образующая основание Цилиндрическая поверхность Ось цилиндра О1 О r1 r M M1 A A1 L1 L


Слайд 2

Тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя кругами с границами L и L1, называется цилиндром. Цилиндрическая поверхность – боковая поверхность цилиндра, а круги – основания цилиндра Образующие цилиндрической поверхности – образующие цилиндра, а прямая ОО1 – ось цилиндра (все образующие параллельны и равны) Длина образующей – высота цилиндра, а радиус основания – радиус цилиндра Запомни это ! Основные понятия


Слайд 3

B C D A Цилиндр может быть получен вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон. На рисунке цилиндр получен вращением прямоугольника АBCD вокруг стороны AB. При этом боковая поверхность цилиндра образуется вращением стороны CD, а основания – вращением сторон BC и CD.


Слайд 4

Если секущая плоскость проходит через ось цилиндра, то сечение представляет собой Прямоугольник, 2стороны которого – образующие, а 2другие – диаметры оснований цилиндра. Это сечение - осевое Сечение цилиндра


Слайд 5

Если секущая плоскость перпендикулярна к оси цилиндра, то сечение является кругом.


Слайд 6

На практике нередко встречаются предметы, которые имеют форму более сложных цилиндров , например, наклонный цилиндр


Слайд 7

Площадь поверхности цилиндра A B r h A B A1 B2 h 2Пr Представим, что боковую поверхность цилиндра разрезали по образующей AB так, что все образующие оказались расположенными в некоторой плоскости. В результате получился прямоугольник ABA1B1 Это развертка боковой поверхности цилиндра. За площадь боковой поверхности цилиндра принимают площадь ее развертки. См. далее


Слайд 8

Основание AA1 прямоугольника является разверткой окружности основания цилиндра, а высота AB – образующей цилиндра, поэтому AA1= 2Пr ; AB=h, где r- радиус цилиндра, h- высота. Так как площадь прямоуг. ABA1B1 = AA1 * AB = 2Пrh, то Sбок=2Пrh Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности основания на высоту цилиндра. Площадь полной поверхности цилиндра = сумме площадей боковой поверхности и двух оснований Sцил= 2Пrh +2Пr*r=2Пr (r + h)


Слайд 9

Понятие конуса B P O r L Ось конуса Вершина конуса образующая Боковая поверхность Основание конуса


Слайд 10

Основные понятия Тело, ограниченное конической поверхностью и кругом с границей L, называется конусом Коническая поверхность – боковая поверхность конуса, а круг – основание конуса Точка Р- вершина конуса, а образующие конической поверхности- -образующие конуса. Прямая ОР, проходящая через центр основания и вершину, называется осью конуса. Ось конуса перпендикулярна к плоскости основания. Отрезок ОР- высота конуса.


Слайд 11

С С2 С1 В А Конус может быть получен вращением прямоугольного треугольника АВС вокруг катета АВ. При этом боковая поверхность образуется путем вращения гипотенузы АС, а основание - вращением катета ВС.


Слайд 12

Сечение конуса Если секущая плоскость проходит через ось конуса, то сечение- равнобедренный треугольник, основание которого – диаметр основания, а боковые стороны – образующие, Это сечение- осевое Если секущая плоскость перпендикулярна к оси ОР, то сечение – круг с центром О1, причем r=(РО1:РО)*r, где r-радиус основания конуса.


Слайд 13

Площадь поверхности конуса За площадь боковой поверхности конуса принимается площадь его развертки. Разверткой боковой поверхности конуса является круговой сектор, радиус которого равен образующей конуса, а длина дуги сектора- длине окружности основания конуса. См. далее P A B P A A1 B Площадь боковой поверхности конуса равна произведению половины длины окружности основания на образующую О:


Слайд 14

Выразим площадь боковой поверхности конуса Sбок через его образующую l и радиус основания r. Площадь кругового сектора равна ПL*La/360,где a- градусная мера дуги ABA1,поэтому S бок = ПL*La/360 Выразим a через l и r. Так как длина дуги ABA1= 2Пr(длине окружности основания конуса), то 2Пr=ПLa /180,откуда a = 360r/L Подставим это выражение в формулу Sбок = ПL*L*360r 360*L Sбок =ПrL Площадь полной поверхности конуса = сумме площадей боковой поверхности и основания Sкон = ПrL+Пr*r= Пr (L +r) Sкон =Пr (L+ r)


Слайд 15

Усечённый конус P O O1 r r1 Основание конуса Основание конуса образующая Боковая поверхность Возьмем произвольный конус и проведем секущую плоскость, перпендикулярную к его оси. Эта плоскость разобьет конус на две части. Одна из них и будет усечённым конусом.


Слайд 16

Основные понятия Основание исходного конуса и круг, полученный в сечении этого конуса плоскостью- основания усечённого конуса, а отрезок, соединяющий их центры- высота Часть конической поверхности, ограничивающая усечённый конус- его боковая поверхность, а отрезки образующих конической поверхности - образующие усечённого конуса Это нужно выучить!


Слайд 17

Усечённый конус может быть получен вращением прямоугольной трапеции вокруг ее боковой стороны, перпендикулярной к основаниям. При этом боковая поверхность образуется вращением боковой стороны AB, а основания- вращением оснований CB и DA трапеции. A B C D


Слайд 18

Площадь поверхности усечённого конуса Пусть P- вершина конуса, из которого получен усечённый конус, AA1 одна из образующих, О иО1 – центры оснований. Используя формулу Sбок конуса = ПrL получим Sбок = Пr*PA-Пr1*PA1=Пr(PA1+AA1)- Пr1*PA1 отсюда, учитывая, что AA1 =L, находим Sбок=ПrL + П(r-r1)PA1. Выразим PA1 через L, r и r1. (прямоугольные треугольники POA1 и POA подобны, так как имеют общий угол Р, поэтому РА1:РА= r1:r или РА1:РА1+L=r1:r отсюда получаем РА1=Lr1: r-r1 ) См. далее Р А А1 О О1 r r1


Слайд 19

Подставим это выражение в формулу Sбок= ПrL+ П(r-r1)PA1, получим ПrL + П(r-r1)*Lr1 r-r1 = ПrL+ Пr1L=П(r+r1)L Sбок= П(r+r1)L Площадь боковой поверхности усечённого конуса равна произведению полусуммы длин окружностей оснований на образующую О:


Слайд 20

Сфера и шар R O Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, которые расположены на данном расстоянии от данной точки. Данная точка – центр сферы, а данное расстояние- -радиус сферы. Любой отрезок, соединяющий центр и какую-нибудь точку сферы, также является радиусом. Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через её центр- диаметр(=2R)


Слайд 21

А В С Сфера может быть получена вращением полуокружности вокруг её диаметра. На рисунке сфера получена вращением полуокружности АВС вокруг её диаметра АВ. Тело, ограниченное сферой, называется шаром. Центр, радиус и диаметр сферы- центр, радиус и диаметр шара. Шар с радиусом R и центром О содержит все точки пространства, которые расположены от точки О на расстоянии, не превышающем R (включая точку О), и не содержит других точек.


Слайд 22

Уравнение сферы Y X Z O C M C(x0;y0;z0) M (x;y;z) Пусть задана прямоугольная система координат O xyz и дана поверхность f,например плоскость или сфера. Уравнение с тремя переменными x, y, z называется уравнением поверхности F,если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки поверхности и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой поверхности. См. далее


Слайд 23

Выведем уравнение сферы радиуса R с центром С(x0;y0;z0) Расстояние от произвольной точки М(x;y;z)до точки С вычисляется по формуле: 2 2 2 МС= (x-x0)+(y-y0)+(z-z0) 2 2 Если точка М лежит на данной сфере, то М=R, т.е. МС=R, то есть координаты точки М удовлетворяют уравнению 2 2 2 2 (x-x0)+(y-y0)+(z-z0)=R Если же точка М не лежит на данной сфере, то МС=R, т. е. координаты точки М не удовлетворяют первому уравнению. В прямоугольной системе координат уравнение сферы радиуса R с центром С(x;y;z) имеет вид 2 2 2 2 (x-x0)+(y-y0)+(z-z0)=R


Слайд 24

Взаимное расположение сферы и плоскости z y x O C R y x z C z y x C O O 2 2 d<R,r= R-d d=R d>R См. далее


Слайд 25

Обозначим радиус сферы –R, а расстояние от её центра до плоскости – d. Введем систему координат :плоскость Оxy совпадает с плоскостью, а центр С сферы лежит на положительной полуосиOz. В этой системе С имеет координаты (0;0; d),поэтому сфера имеет уравнение 2 2 2 2 x +y +(z -d)=R Плоскость а совпадёт с плоскостью Oxy, значит z=0. Вопрос о взаимном расположении сферы и плоскости сводится к исследованию системы уравнений: z=0 2 2 2 2 x +y +( z- d)=R Подставив z=0 во второе уравнение получим: 2 2 2 2 x +y=R- d.


Слайд 26

Возможны три случая: 1.d<R,тогда 2 2 R-d>0, и уравнение окружности радиуса 2 2 r = R-d с центром в точке О на плоскости Oxy.В данном случае сфера и плоскость пересекаются по окружности. Если расстояние от центра сферы до плоскости меньше радиуса сферы, то сечение сферы- окружность 2.d=R,тогда 2 2 R-d=0, И ур-нию удовлетворяют значения x=0,y=0.Значит О(0;0;0),то есть Если расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы0 то сфера и плоскость имеют только одну общую точку. 3.d>R,тогда 2 2 R-d<0, И уравнению не удовлетворяют координаты никакой точки. Если расстояние от центра до плоскости больше радиуса сферы, то сфера и плоскость не имеют общих точек.


Слайд 27

Касательная плоскость к сфере А О Плоскость., имеющая со сферой одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфере, а их общая точка- точка касания плоскости и сферы. На рисунке плоскость а- касательная плоскость к сфере с центром О, а А-точка касания. а См. далее


Слайд 28

Свойство касательной плоскости: Т: радиус сферы, проведенный в точку касания, перпендикулярен к касательной плоскости. Доказательство: Рассмотрим рисунок, показанный ранее. Предположим, что радиус не перпендикулярен к плоскости. Тогда он является наклонной к плоскости а, то есть расстояние от сферы до плоскости меньше радиуса сферы, то есть они пересекаются по окружности, а это невозможно, так как а- касательная. Значит радиус перпендикулярен к плоскости, ч. т. д. Обратная теорема: если радиус сферы перпендикулярен к плоскости, проходящей через его конец, лежащий на сфере, то эта плоскость- касательная к сфере Доказательство: Из условия следует, что радиус- перпендикуляр, проведённый из центра сферы к плоскости. Значит, расстояние от центра сферы до плоскости = радиусу, сфера и плоскость имеют одну общую точку, то есть данная плоскость- касательная к сфере, ч. т. д.


Слайд 29

Площадь сферы Сферу нельзя развернуть на плоскость, поэтому для определения её площади пользуются понятием описанного многогранника. (Многогранник описанный, если сфера касается всех его граней. При этом сфера- вписанная.На рис. Сфера вписана в куб и тетраэдр) За площадь сферы принимается предел последовательности площадей поверхностей описанных около сферы многогранников при стремлении к нулю наибольшего размера каждой грани. S=4П(R*R) -это будет доказано в дальнейшем курсе геометрии.


Слайд 30

конец


×

HTML:





Ссылка: