'

«Лента Мёбиуса»

Понравилась презентация – покажи это...





Слайд 0

«Лента Мёбиуса» МОУ «СОШ № 15» г.о. Нальчик Проект по теме: Выполнила: Митик Мария, 9 класс Руководитель проекта: Бозиева Ф.С. высшая квалификационная категория.


Слайд 1

Цель. Показать, что в математике много увлекательного и интересного. Задачи: Сделать ленту Мёбиуса. Узнать свойства ленты Мёбиуса. Придумать математические развлечения с лентой Мёбиуса. Узнать об использовании ленты Мебиуса в искусстве и жизни. Узнать о свойствах бутылки Клейна


Слайд 2

Август Фердинанд Мёбиус. Немецкий геометр Август Фердинанд Мебиус (1790 - 1868), ученик «короля математиков» Гаусса. Мёбиус был первоначально астрономом, как Гаусс и многие другие прославленные математики. В те времена занятия матема­тикой не встречали поддержки, а астрономия была прибыльным делом и давала возможность заниматься проблемами других научных областей. И Мёбиус стал одни из крупнейших геометров XIX века. В возрасте 68 лет ему удалось сделать открытие ленты, которая бала названа его Именем. Идея пришла Мёбиусу в голову, когда служанка не правильно сшила ленту.


Слайд 3

Топология. Топологические свойства листа Мебиуса. 1. Односторонность - топологическое свойство листа Мёбиуса, характерное только для него. Непрерывность - с топологической точки зрения круг неот­личим от квадрата, потому что их легко преобразовать один в дру­гой, не нарушая непрерывность. На листе Мёбиуса любая точка может быть соединена с любой другой точкой. Разрывов нет - не­прерывность полная. Связность - Связность принято оценивать числом Бетти, или иногда пользуются эйлеровой характеристикой, лента Мебиуса двухсвязна. 4. Ориентированность — свойство, отсутствующее у листа Мёбиуса. Так, если бы человек смог пропутешествовать по всем изгибам листа Мёбиуса, то когда он вернулся бы в исходную точку, он превратился в своё зеркальное отражение. 5. «Хроматический номер» - максимальное число областей, которые можно нарисовать на поверхности так, чтобы каждая из них имела общую границу со всеми другими. Хроматический номер листа Мёбиуса равен шести.


Слайд 4

Изготовление Ленты Мёбиуса. Для изготовления ленты Мёбиуса нам понадобятся: бумага, клей и ножницы. Модель ленты Мёбиуса можно легко сделать. Для этого надо взять вытянутую бумажную полоску и соединить концы полоски, предварительно перевернув один из них. Простая полоска бумаги, но перекрученная всего лишь раз и склеенная затем в кольцо, сразу же превращается в загадочную ленту Мёбиуса и приобретает удивительные свойства.


Слайд 5

4. Свойства ленты Мёбиуса Лента Мёбиуса обладает любопытными свойствами, изучение которых становится увлекательным занятием. Зададимся вопросом: сколько сторон у этого куска бумаги? Две, как у любого другого? Нет. У него ОДНА сторона. Не верите? Давайте проверим: попробуйте закрасить это кольцо с одной стороны. Красим, не отрываемся, на другую сторону не переходим. Красим... Закрасили? А где же вторая, чистая сторона? Ее нет. Вывод: Начали красить лист Мёбиуса,  не переворачивая. Лист Мёбиуса закрасился полностью. « Если кто - нибудь вздумает раскрасить только одну сторону поверхности мёбиусовой ленты, пусть сразу погрузит её всю в ведро с краской», - пишут Рихард Курант и Герберт Робинс в книге «Что такое математика?»


Слайд 6

Проведем линию вдоль ленты, на одинаковом расстоянии от краёв. Что заметили? Вывод: Линия проведена «с двух сторон». Линия вернулась в точку начала.


Слайд 7

А что случится, если разрезать вдоль посередине это кольцо (лист Мёбиуса) по всей длине? Получилось два кольца? Вывод: Получили 1 кольцо, длина которого в два раза больше, ширина в два раза уже, перекручено на 1 полный оборот – «Афганская лента» (так называют ее фокусники).


Слайд 8

Разрежьте «Афганскую ленту» вдоль посередине. Вывод: Получились две ленты, намотанные друг на друга.


Слайд 9

Лист Мёбиуса шириной 5 см. разрезали вдоль на расстоянии 1 см от края. Вывод: Получили два сцепленных друг с другом кольца: первое - ширина 3 см. лист Мёбиуса длина равна длине исходного. Второе - ширина 1 см. длина в два раза больше исходного перекручена на два полных оборота.


Слайд 10

Склейте два кольца - одно простое и лист Мёбиуса. Разрежьте каждое из них пополам вдоль. Что у Вас получилось? Вывод: Получились три кольца, намотанные друг на друга. 2 – простые кольца равные по длине первоначальным, 3 – «Афганская лента».


Слайд 11

Попробуйте прорезать в полосе щель и продеть сквозь нее один конец полосы ( как показано на рисунке) А теперь попробуйте продолжить разрез вдоль всей ленты. Что у вас получилось, если не секрет: Вывод: Получили 1 кольцо, длина которого в два раза больше, ширина в два раза уже, перекручено на 1 полный оборот – «Афганская лента».


Слайд 12

Бумажную куклу отправили вдоль по середине листа Мёбиуса. Вывод: Кукла вернулась в то же место откуда начала движение, но в перевернутом виде.


Слайд 13

Ну а что, интересно, получится, если перед склеиванием ленты перекрутить ее два раза (то есть на 360 градусов)? Вывод: Если разрезать ее вдоль посередине, то вы получите два одина­ковых кольца, но опять же сцепленных между собой. А разрезав каждое из них еще раз вдоль посередине, вы обнаружите уже четыре кольца, соединенных друг с другом. Можно теперь рвать эти кольца по очереди, и всякий раз оставшиеся будут по- прежнему сцеплены вместе.


Слайд 14

А вот еще одна фигура, надо ее склеить так, чтобы совпали точки А и Е; В и F C и G; D и H. Вывод: Получили две непересекающиеся ленты Мебиуса, соединенных между собой.


Слайд 15

Возьмём на листе Мёбиуса точку, проведем к ней нормаль (перпендикуляр), а вокруг нормали начертим небольшую окружность с направлением против часовой стрелки, если смотреть из конца нормали. Начнем перемещать точку вместе с нормалью и направленной окружностью по листу Мёбиуса. Когда точка обойдёт весь лист и вернётся в исходное положение (зрительно она будет на другой стороне листа, но в геометрии поверхность толщины не имеет), направление нормали изменится на обратное, а направление окружности — на противоположное. Выводы: Полный обход вокруг листа изменяет направление окружности на противоположное. Это говорит о том, что поверхность листа Мёбиуса неориентируема.


Слайд 16

Выводы: Лист Мебиуса имеет один край. Лист Мебиуса имеет одну сторону. Лист Мёбиуса - топологический объект, не меняет своих свойств, пока ее не разрезают, не склеивают её отдельные куски. Поверхность листа Мёбиуса неориентируема.


Слайд 17

Проблемы.


Слайд 18

Бутылка Клейна. Бутылку построил в 1882 году немецкий математик Феликс Клейн. Обычная бутылка имеет наружную и внутреннюю стороны. В отличие от обычной бутылки бутылка Клейна не имеет края, а ее поверхность нельзя разделить на внутреннюю и наружную.


Слайд 19


Слайд 20

Изготовление бутылки Клейна из листа бумаги


Слайд 21

Бутылка Клейна — это односторонняя поверхность без края с числом Бетти, равным 2 и хроматическим числом, равным 6.


Слайд 22

5.Использование листа Мёбиуса У входа в музей истории и техники в Вашингтоне медленно вращается на пьедестале стальная лента, закрученная в полвитка.


Слайд 23

В 1923 году выдан патент № 1442632 знаменитому американскому изобретателю Ли де Форесту, который предложил записывать звук на киноленте без смены катушек, сразу с двух сторон – это лента Мёбиуса. В 1969 году советский изобретатель А. Губайдуллин получил авторское свиде­тельство № 236278 на бесконечную шлифовальную ленту, работающую обеими своими сторонами. Он предло­жил натянуть сделанную из специального материала лен­ту Мебиуса на два вращающихся ролика и покрыть ее крупинками твердого абразива. Понятно, что такая лента служит вдвое больше обычной. Ту же идею использовали сотрудники НИИ автоматизации черной металлургии Г. Буйный и В. Изотов в своем устройстве для магнитной дефектоскопии (им выдано авторское свидетельство № 259449).


Слайд 24

Ленточный конвейер в виде ленты Мёбиуса может работать дольше, он равномерно изнашивается с двух сторон. В 1963 году патентное ведомство США зарегистрировало изобретение Джакобса, который поставил свои знания топологии на служ­бу химчистки — он придумал самоочищающийся фильтр, который представляет собой все ту же ленту Мебиуса и беспрерывно освобождается от впитанной грязи, «рабо­тая» при этом обеими своими сторонами. В 1971 году изобретатель с Урала Чесноков П.Н. тоже применил фильтр в виде листа Мёбиуса. Система записи на непрерывную плёнку – лист Мёбиуса.


Слайд 25

Красящая лента в первых принтерах – лента Мёбиуса увеличивала срок их использования. Международный символ переработки – лист Мёбиуса. В метро ручка эскалатора, не что иное, как лента Мёбиуса, это позволяет равномерно изнашиваться, и продлевает срок службы резины. Любят ленту Мёбиуса художники, писатели – фантасты.


Слайд 26

6.Использование листа Мёбиуса в искусстве. В рассказе А.Дж. Дейча «Метро Мебиус II» рассказывается о бостонском метро, линии которого причудливым образом разрослись и превратились в ленту Мебиуса. Целые составы стали исчезать и возвращались через месяц….


Слайд 27

Встречаются упоминание о листе Мёбиуса и в поэзии. «Лист Мебиуса - символ математики, Что служит высшей мудрости венцом… Он полон неосознанной романтики: В нем бесконечность свернута кольцом». ( «Лист Мёбиуса» Наталья Юрьевна Иванова) Лента Мёбиуса широко используется фокусниками


Слайд 28

Особенно любил работать с топологическими объектами голландский художник Морис Корнелис Эшер (1898 – 1972 годы)  множество его работ посвящены листу Мебиуса. Если вы проследите путь муравьев на литографии "Лента Мебиуса II", то увидите, что муравьи ползут не по противоположным поверхностям ленты, а по одной и той же.


Слайд 29

Золотое колечко в виде листа Мёбиуса


Слайд 30

Мебель в форме листа Мебиуса (видимо, для поссорившихся парочек).


Слайд 31

Вязаная шапочка в форме бутылки Клейна и шарф в форме листа Мебиуса


Слайд 32

III Заключение В результате выполнения этого проекта Я узнала, что: Существует односторонняя поверхность – лист Мёбиуса. Он обладает удивительными свойствами. Лента Мёбиуса (лист Мебиуса) используется в жизни. Она волнует литераторов и художников. Зная свойства Ленты Мёбиуса, можно придумать различные фокусы и развлечения и изготовить полезные и нужные вещи.


Слайд 33

Практическим результатом моего проекта стало: Изготовление бумажной бутылки Клейна. Вязаная шапочка в форме бутылки Клейна (смотри схему). Вязаный шарф в форме листа Мебиуса. Схема вязания шапочки в форме бутылки Клейна


×

HTML:





Ссылка: